Beweis mithilfe der Betafunktion

09.06.2009, 19:50	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mithilfe der Betafunktion Hallo , Hoffentlich kann mir jemand dabei helfen: Die Eulersche Betafunktion $\begin{eqnarray} B(a,b):=\int_{0}^{1}~x^{a-1}(1-x)^{b-1}~dx \end{eqnarray}$ lässt sich durch Substitution $\begin{eqnarray} x=\frac{y} {1+y} \end{eqnarray}$ folgendermaßen darstellen: $\begin{eqnarray} B(a,b)= \int_{0}^{oo}~ \frac{y^{a-1}}{(1+y)^{a+b}}~dx \end{eqnarray}$ Beweisen sie mithilfe der Betafunktion die Gleichung: $\begin{eqnarray} \int_{-oo}^{oo}~e^{-x^2}~dx= \sqrt{ \pi} \end{eqnarray}$ Meine Vermutung (da die Subst angegeben ist) war, dass man das Integral wohl auf die obrige Form bringen muss- nur leider weiß ich nicht wie. Hat jemand eine Idee? LG und danke im voraus Metaphysika
09.06.2009, 23:20	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, was ich mir noch überlegt habe: da die Funktion symmetrisch ist, muss ich folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} 2\int_{0}^{oo}~e^{-x^2}~dx=\sqrt{ \pi } \end{eqnarray}$ dann hätte ich zumindest mal dieselben Grenzen wie in der Betafunktion
09.06.2009, 23:40	Sam Al Knödl	Auf diesen Beitrag antworten »
ok xD ich kann dir sagen wie es mit der gammafunktion geht... bei interesse schreib einfach ^^ also ich geb dir hinweise
09.06.2009, 23:47	Sam Al Knödl	Auf diesen Beitrag antworten »
das was du mit der symmetrie geschrieben hast stimmt... nimm einfach mal die gammafunktion und setze $\begin{eqnarray} a=1/2 \end{eqnarray}$ und substituiere dann $\begin{eqnarray} x=z^2 \end{eqnarray}$ und dann stehts im prinzip so da wie du es aufgeschrieben hast ^^ und dann kannst das integral von -unendlich bis unendlich schreiben statt 2 mal das integral und dann dürftest fertig sein^^ good luck ^^ ach genau... verwende die itendität, dass $\begin{eqnarray} \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt\pi \end{eqnarray}$ das wär jetzt ne alternative zur betafunktion... aber ich glaub man kann durch substitutionen die betafkt auch in die gammafkt umschreiben... schau mal im skript nach wie der prof das da gemacht hat... wenn ich mich irre... dürfen mich die obergurus gerne verbessern

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