Ableitungen berechnen

09.06.2009, 20:24

cmm

Ableitungen berechnen

Hallo,

ich habe hier zwei Funktionen bei denen ich massive Probleme mit den Ableitungen habe:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{e^{x}} } \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 3\frac{x \sqrt{x} }{e^{x}} \end{eqnarray*}$

Denn mit der Quotientenregel komme ich irgendwie nicht weiter!

f´ = ?
wenn f = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{f(x)}} \end{eqnarray*}$

Wer kann mir helfen?

Viele Grüße

09.06.2009, 20:26

IfindU

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RE: Mit den Ableitungen überfordert
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{0.5x}} = x \cdot e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$

09.06.2009, 20:28

Investigator

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Quotientenregel müsste dich dennoch ans Ziel führen.

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} v(x) = \sqrt{e^x} = e^{\frac{1}{2}x} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

10.06.2009, 16:44

cmm

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Ok.
Danke.

Ich komme zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-0,5x)e^{0,5x}}{(e^{0,5x})^{2}} \end{eqnarray*}$

Es gibt dazu eine Musterlösung, leider sind hier die Ableitungen nur angegeben, es ist kein Rechenweg ersichtlich.

Sie lautet:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{x-2}{2\sqrt{e^{x}}} \end{eqnarray*}$

f´´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{x-4}{4\sqrt{e^{x}}} \end{eqnarray*}$

f´´´(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{x-6}{8\sqrt{e^{x}}} \end{eqnarray*}$

Ich versteh absolut nicht wie man darauf kommen soll.

Mit freundlichen Grüßen

10.06.2009, 16:47

Airblader

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$\begin{eqnarray*} e^{\frac12 x} \end{eqnarray*}$ lässt sich bei dir einmal kürzen.

Dann beachte $\begin{eqnarray*} (1-0,5x) = \frac12 \cdot (2 - x) = -\frac12 (x-2) \end{eqnarray*}$

Ersetze das, etwas Bruchrechnung und du bist bei der Musterlösung.

Edit:

Übrigens eine schöne Funktion, bei der man die Vermutung aufstellen kann, dass allgemein $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = (-1)^n\frac{x-2n}{2^n \sqrt{e^x}} \end{eqnarray*}$ gilt.

air

10.06.2009, 19:32

cmm

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Sehr gut!

Danke.

12.06.2009, 13:00

cmm

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Hallo,

ich hab mal die zweite Funktion probiert:

f(x) = $\begin{eqnarray*} 3\frac{x \sqrt{x} }{e^{x}} \end{eqnarray*}$

bei f´(x) komme ich zu folgendem:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{x} +3x*\frac{1}{2\sqrt{x}} - 3x\sqrt{x}}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

so, nun wäre es in meinen Augen sinnvoll $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auszuklammern,
wobei es mir Probleme bereitet, da es bei dem Term $\begin{eqnarray*} 3x*\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ die Wurzel im Nenner steht.

Kann man es dann überhaupt ausklammern?

Mit freundlichen Grüßen

15.06.2009, 12:29

cmm

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Hallo,

ich habe einamal versucht wenigstens die erste und zweite Ableitung zu bilden.

Die erste Ableitung scheint mir richtig zu sein, bei der zweiten bin ich irgenwie stecken geblieben.

Kann mir jemand weiterhelfen??
Wo liegen die Fehler?

Das rot eingerahmte nicht weiter beachten.

Ein Problem ist u. a. folgendes:

Wie kann ich hier $\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

Bin hier irgendwie überfordert!

Zur dritten Ableitung bin ich gar nicht erst gekommen!!

Mit freundlichen Grüßen

1 Anhang

15.06.2009, 18:17

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von cmm
f(x) = $\begin{eqnarray*} 3\frac{x \sqrt{x} }{e^{x}} \end{eqnarray*}$

bei f´(x) komme ich zu folgendem:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{x} +3x*\frac{1}{2\sqrt{x}} - 3x\sqrt{x}}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -3x^{\frac 3 2} \cdot e^{-x} + \frac 9 2 \cdot \sqrt x \cdot e^{-x}= \frac{\frac{9}{2}\sqrt x-3x\sqrt x}{e^x} \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis kann man noch vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{x} +3x*\frac{1}{2\sqrt{x}} - 3x\sqrt{x}}{e^{x} } = \frac{3\sqrt x + \frac{3 \sqrt x \cdot \sqrt x}{2\sqrt x}- 3x\sqrt x}{e^x} = \frac{3\sqrt x + \frac 3 2 \sqrt x-3x\sqrt x}{e^x} = \frac{\frac{9}{2}\sqrt x-3x\sqrt x}{e^x} \end{eqnarray*}$

Man kann hier natürlich Wurzel x noch ausklammern, aber darin sehe ich wenig Sinn, schon gar nicht für die 2. Ableitung.
Aber das Ergebnis stimmt.

Dein Blatt will ich mir jetzt ehrlich gesagt nicht weiter ansehen, aber benutze einfach die Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{9}{2}\sqrt x - 3 x^{\frac 3 2})e^{-x} \end{eqnarray*}$

16.06.2009, 15:25

cmm

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Hallo,

ich habe zwei/drei Fragen:

1. Wie klammert man allgemein bei einem Bruch den Nenner aus?

2. Wie lauten die höheren Ableitungen??

bzw. wie sie lauten weiß ich, ich weiß nur nicht wie ich zu diesen Ergebnissen komme!

Sie sind folgerndermaßen angegeben:

f´ = $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{2} \sqrt{x} \left(2x-3\right) e^{-x} \end{eqnarray*}$

f`` = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4\sqrt{x} } \left(4x^{2}-12x+3\right) e^{-x} \end{eqnarray*}$

f´´´ = $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{8} x^{- \frac{3}{2} } \left(8x^{3}-36x^{2}+18x+3 \right) e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wer kann helfen?

Viele Grüße

16.06.2009, 18:54

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von cmm
1. Wie klammert man allgemein bei einem Bruch den Nenner aus?

Wie meinst du das? So ergibt die Frage keinen Sinn.

Zitat:

Original von cmm
2. Wie lauten die höheren Ableitungen??

Wenn dus nicht in einem Schritt kannst, dann klammere Schritt für Schritt aus:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{9}{2}\sqrt x - 3 x \sqrt x)e^{-x} \\ \\ = -(3x\sqrt x-\frac 9 2 \sqrt x)e^{-x} \\ \\ = -\sqrt x (3x-\frac 9 2)e^{-x} \\ \\ = -\frac 3 2 \sqrt x (2x-3)e^{-x} \end{eqnarray*}$

Bei den anderen Aufgaben kannst du auch so verfahren.

16.06.2009, 19:09

cmm

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von cmm
1. Wie klammert man allgemein bei einem Bruch den Nenner aus?

Wie meinst du das? So ergibt die Frage keinen Sinn.

Zitat:

Original von cmm
2. Wie lauten die höheren Ableitungen??

Hallo,

zu 1.:

beispielsweise wie o. g.

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{x} \left(?\right) \end{eqnarray*}$

zu 2.:

die erste Ableitung hab ich soweit verstanden und die 2. versucht (siehe Dateianhang oben), hat aber nicht funktioniert.

Komme nicht auf das angegebene Ergebnis!

Mit freundlichen Grüßen

16.06.2009, 19:28

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von cmm
zu 1.:

beispielsweise wie o. g.

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{x} \left(?\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt x} = \frac{9\sqrt x}{4x} = \sqrt x \left(\frac{9}{4x}\right) \end{eqnarray*}$

16.06.2009, 20:18

cmm

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von cmm
zu 1.:

beispielsweise wie o. g.

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{x} \left(?\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4\sqrt x} = \frac{9\sqrt x}{4x} = \sqrt x \left(\frac{9}{4x}\right) \end{eqnarray*}$

Hallo,

also hast du nur mit $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ erweitert?

16.06.2009, 21:31

Q-fLaDeN

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Im 2. Schritt, ja.

25.06.2009, 21:14

cmm

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Ich habe Schwierigkeiten bei einer Ableitung (wieder mal)

f(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{16-x^{2} } \end{eqnarray*}$

f´(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{x}{\sqrt{16-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

f´´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{- \left(16-x^{2}\right)^\frac{1}{2}- x^{2} \left(16-x^{2}\right)^\frac{-1}{2}}{(16-x^{2}) } \end{eqnarray*}$

Ich habe Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} \left(16-x^{2}\right)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$
geteilt und komme zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{-(16-x^2)-x^2}{(16-x^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

d.h. f´´(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{16}{(16-x^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Ich habe mit Ableitungen von Wurzelfunktionen wenig Erfahrung.
Stimmen die Ableitungen?

Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} \left(16-x^{2}\right)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$ ist die einzige Möglichkeit die ich kenne, um den Bruch aus dem Zähler zu bekommen.

viele Grüße

25.06.2009, 21:35

Q-fLaDeN

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Ableitungen stimmen.

26.06.2009, 11:19

cmm

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Danke.

26.06.2009, 20:42

cmm

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[quote]Original von cmm

Ich habe Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} \left(16-x^{2}\right)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$
geteilt und komme zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{-(16-x^2)-x^2}{(16-x^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

d.h. f´´(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{16}{(16-x^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} \left(16-x^{2}\right)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$ ist die einzige Möglichkeit die ich kenne, um den Bruch aus dem Zähler zu bekommen.

Ist dies die einzig legitme Art und Weise wenn ich im Zähler einen Bruch stehen habe, und diesen herausbringen will?

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