Integral: Grenzen ändern

10.06.2009, 13:05

Alon

Integral: Grenzen ändern

Hallo kann mir vielleicht einer erklären, bzw sagen welche Rechenregeln dahinter stecken wenn sowas hier vorgenommen wurde?

Zuerst mal wurde gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\frac{t*sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt = \frac {\pi}{2} * \int_{0}^{\pi}~\frac{sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt \end{eqnarray*}$

Jetzt zu meinem eigentlichen Problem:

als nächstes sollte die Substitution u=cos(t) vorgenommen werden und dann steht in der Rechnung folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\frac{t*sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt = -\frac {\pi}{2} * \int_{1}^{-1}~\frac{du}{1+u^{2}}~dt \end{eqnarray*}$

Wie genau macht man diese Verschiebung der Oberen/Unteren Grenzen und wie komme ich auf das du im Zähler?

mfg
Alon

10.06.2009, 13:33

klarsoweit

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RE: Integral: Grenzen ändern
Zur ersten Frage habe ich im Moment keine Idee, sieht mir irgendwie auch komisch aus. Was die Substitution angeht, solltest du dir einfach mal die Regel anschauen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Aber auch da gibt mir deine Rechnung zu denken, weil ich nicht sehe, wieso das t im Zähler einfach verschwindet.

10.06.2009, 13:47

Alon

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RE: Integral: Grenzen ändern
Sorry das letzte dt darf da nicht stehen, das habe ich vergessen weg zu machen unglücklich

10.06.2009, 13:52

klarsoweit

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RE: Integral: Grenzen ändern
OK, das habe ich stillschweigend angenommen. Es ändert aber nichts an meinem vorigen Beitrag. Verstehen könnte ich folgende Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\frac{sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt = - \int_{1}^{-1}~\frac{du}{1+u^{2}} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, mit deiner Rechnung komme ich nicht klar.

10.06.2009, 14:20

Alon

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RE: Integral: Grenzen ändern
Naja ich hatte ja vorher geschrieben:

Zitat:

Original von Alon

Zuerst mal wurde gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\frac{t*sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt = \frac {\pi}{2} * \int_{0}^{\pi}~\frac{sin(t)}{1+cos^{2}(t)}~dt \end{eqnarray*}$

10.06.2009, 14:29

Alon

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gehen wir mal von dem aus was du geschrieben hast. Dann ergeben sich die neuen Grenzen aus cos(0) und cos( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ).

Das 1+u² ist auch klar. Aber warum oben das du und vor dem Integral ein Minus?
Diese ganze Substitutionsregel is mir irgendwie suspekt Augenzwinkern

10.06.2009, 14:30

Alon

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weil -sin(t) aufgeleitet cos ist?

10.06.2009, 14:41

klarsoweit

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Eigentlich eher, weil die Ableitung von cos(t) -sin(t) ist.

Mit u=cos(t) ist $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} = -sin(t) \end{eqnarray*}$ . Also ist sin(t)*dt = -du .

Das "du" im Zähler ist nur eine abkürzende Schreibweise. Normalerweise gehört es hinten dran und eine 1 in den Zähler.

10.06.2009, 15:35

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Wenn es Alon schon nicht verrät - die erste Gleichung entstand wahrscheinlich so: Sei

$\begin{eqnarray*} I := \int\limits_0^{\pi} ~ \frac{t\sin(t)}{1+\cos^2(t)} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Durch die Substitution $\begin{eqnarray*} s=\pi-t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd s = -\dd t \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} I = \int\limits_0^{\pi} ~ \frac{(\pi-s)\sin(\pi-s)}{1+\cos^2(\pi-s)} ~ \dd s = \int\limits_0^{\pi} ~ \frac{(\pi-s)\sin(s)}{1+\cos^2(s)} ~ \dd s \end{eqnarray*}$ .

Summiert man beide Integrale, kommt man zu

$\begin{eqnarray*} 2I = \int\limits_0^{\pi} ~ \frac{\pi\sin(t)}{1+\cos^2(t)} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Geschlossen integrierbar scheint der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{t\sin(t)}{1+\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ wohl nicht zu sein.

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