Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit, Einschränkung von Delta

10.06.2009, 16:50

Duedi

Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit, Einschränkung von Delta

Hallo!

(Mal wieder) verzweifle ich gerade am Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit. (Ja ich weiß, dazu hatte ich schon einmal ein Thema gestartet, das hilft mir aber leider nicht weiter) Speziell beim Beispiel der Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\\ x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

verstehe ich die Herleitung nicht, die Königsberger macht. Ich stelle das mal sinngemäß hier rein:

Seien $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben. Wegen $\begin{eqnarray*} |x+x_0| \leq |x-x_0| + 2|x_0| \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2| = |x+x_0||x-x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für all jene x, die den beiden Ungleichungen

(bis hierher alles klar)

$\begin{eqnarray*} |x-x_0|+2|x_0|<1+2|x_0| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1} \end{eqnarray*}$ genügen.

???? Ich verstehe überhaupt nicht wie er darauf kommt.

Mit $\begin{eqnarray*} \delta := \min\{1, \frac{\varepsilon}{1+2|x_0|}\} \end{eqnarray*}$ gilt dann die Implikation $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \Rightarrow |x^2-x_0^2|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ich kann mir das ganze einigermaßen gut herleiten, wenn man in jedem Fall ohne Bedenken annehmen kann, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < 1 \end{eqnarray*}$ ist, denn:
$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2| = |x-x_0||x+x_0|<|x-x_0|(|x-x_0|+2|x_0|)<|x-x_0|(1+2|x_0|)<\varepsilon \Rightarrow |x-x_0|< \frac{\varepsilon}{1+2|x_0|} \end{eqnarray*}$

Doch dann: Warum dann die als Alternativwert für den Bruch und warum darf man immer annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<1 \end{eqnarray*}$ ist?

Ich hoffe man versteht einigermaßen, was mein Problem ist, aber mich ärgert diese Aufgabe schon ziemlich böse

10.06.2009, 17:00

WebFritzi

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RE: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit, Einschränkung von Delta

Zitat:

Original von Duedi
warum darf man immer annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<1 \end{eqnarray*}$ ist?

Das delta im Königsberger ist genau so gewählt, dass man das darf.

10.06.2009, 17:16

Duedi

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Also eine Art Fallunterscheidung?

Fall 1: $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta := \frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}< 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2| = |x+x_0||x-x_0| < (|x-x_0|+2|x_0|)|x-x_0| < (|1+2|x_0|)\delta = (1+2|x_0|)\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1} = \varepsilon \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} |x-x_0| > 1;\ \delta := 1 < \frac{\varepsilon}{2|x_0|+1} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt ist doch $\begin{eqnarray*} |x-x_0| \not< \delta = 1 \end{eqnarray*}$ , oder?

10.06.2009, 17:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Duedi
Also eine Art Fallunterscheidung?

Ja. Aber nicht so, wie du es schreibst. delta wird als Minimum zweier Zahlen definiert. Wenn nun |x - x_0| kleiner als delta ist, dann ist |x - x_0| auch kleiner als beide Werte. So spart man sich die Fallunterscheidung für Epsilon.

10.06.2009, 17:37

Duedi

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Hm achso, okay. Danke für die Hilfe. smile

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