Partielles Ableiten (Gasgleichung)

10.06.2009, 18:24

Mulder

Partielles Ableiten (Gasgleichung)

Hallo,

für ein Gas sei die folgende Zustandsgleichung gegeben: $\begin{eqnarray*} pV = cT \end{eqnarray*}$

Dabei ist p der Druck, V das Volumen, T die Temperatur und c eine Gaskonstante.

Nun soll folgendes gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} \partial_T V \partial_p T \partial_V p = -1 \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich das mal so alles auflöse, erhalte ich doch erst einmal:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{cT}{p} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, p = \frac{cT}{V} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, T = \frac{pV}{c} \end{eqnarray*}$

Und jeweils nach den entsprechenden Veränderlichen abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \partial_T V = \frac{cT'}{p} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, \partial_p T = \frac{Vp'}{c} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, \partial_V p = cT \left ( \frac{-V'}{V^2} \right ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann zusammenfasse, ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \partial_T V \partial_p T \partial_V p = \frac{cT'}{p} \frac{Vp'}{c}cT \left ( \frac{-V'}{V^2} \right )= - \frac{c T' V p' c T V'}{pCV^2} = - \frac{T' p' V' cT}{pV} \end{eqnarray*}$

Wenn ich da dann nun noch wieder verwende, was oben (aufgelöst nach p) steht, könnte ich ja vielleicht da hinten noch was wegkürzen:

$\begin{eqnarray*} - \frac{T' p' V' cT}{pV} = - \frac{T' p' V' p}{p} = -T' p' V' \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \partial_T V \partial_p T \partial_V p = - T' p' V' \end{eqnarray*}$

Und sofern ich da jetzt keinen Schmarrn gemacht habe, weiß ich spätestens jetzt nicht mehr weiter. Hätte ich komplett anders vorrgehen müssen? Oder habe ich mich irgendwo bei irgendwas vertan? Die Ableitungen sind doch eigentlich okay, oder kann ich da noch mehr Infos rausholen?

verwirrt

10.06.2009, 18:41

vektorraum

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RE: Partielles Ableiten (Gasgleichung)

Zitat:

Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} V = \frac{cT}{p} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, p = \frac{cT}{V} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, T = \frac{pV}{c} \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon erstmal Freude

Zitat:

Und jeweils nach den entsprechenden Veränderlichen abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \partial_T V = \frac{cT'}{p} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, \partial_p T = \frac{Vp'}{c} \, \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, \, \partial_V p = cT \left ( \frac{-V'}{V^2} \right ) \end{eqnarray*}$

Was soll das Strich in dem jeweiligen Kontext heißen??? Welche Ableitung ist denn damit gemeint? Du fasst bei der partiellen Ableitung - z.B. nach T, c und p als Parameter auf und leitest nach T ab. D.h. es ist

$\begin{eqnarray*} \partial_T \frac{cT}{p}=\frac{c}{p} \end{eqnarray*}$

10.06.2009, 18:49

WebFritzi

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RE: Partielles Ableiten (Gasgleichung)

Zitat:

Original von Mulder
Nun soll folgendes gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} \partial_T V \partial_p T \partial_V p = -1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht:

$\begin{eqnarray*} (\partial_T V)(\partial_p T)(\partial_V p) = \frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}\cdot\frac{\partial p}{\partial V} = 1. \end{eqnarray*}$

@Vektorraum: Nein. p ist doch auch von T abhängig.

10.06.2009, 19:02

vektorraum

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RE: Partielles Ableiten (Gasgleichung)
Die gleiche Aufgabe hatte ich vor ein paar Jahren in der Analysis 2 und da schrieb unser Professor folgendes:

Die Zustandsgleichung idealer Gase lautet

$\begin{eqnarray*} pV = cT \end{eqnarray*}$ ;

wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein Konstante ist. Somit kann jede der Größen $\begin{eqnarray*} p; V; T \end{eqnarray*}$ als eine Funktion der zwei anderen dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} p = p(V; T) = \frac{cT}{V} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V = V (p; T) = \frac{cT}{p} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T = T(p; V ) = \frac{pV}{c} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial T}\cdot \frac{\partial T}{\partial p}\cdot \frac{\partial p}{\partial V}=-1 \end{eqnarray*}$

für die drei Funktionen p = p(V; T); V = V (p; T); T = T(p; V ).

Er bemerkt sogar noch, dass das Kürzen der Differentialquotienten mit Ergebnis 1 ein falsches Resultat liefert.

10.06.2009, 19:09

vektorraum

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RE: Partielles Ableiten (Gasgleichung)

Zitat:

@Vektorraum: Nein. p ist doch auch von T abhängig.

I.d.R. ist das so, Webfritzi. Da es sich aber um eine Zustandsgleichung für ideale Gase handelt, ist in dem Fall p unabhängig von T. Eine Zustandsgröße ist nämlich eine Größe, die nur vom momentanen Zustand des Systems abhängt.

10.06.2009, 19:15

WebFritzi

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RE: Partielles Ableiten (Gasgleichung)

Zitat:

Original von vektorraum
Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial T}\cdot \frac{\partial T}{\partial p}\cdot \frac{\partial p}{\partial V}=-1 \end{eqnarray*}$

für die drei Funktionen p = p(V; T); V = V (p; T); T = T(p; V ).

Wenn p doch unabhängig ist von T, wieso dann p(V;T)? unglücklich

Zitat:

Original von vektorraum
Er bemerkt sogar noch, dass das Kürzen der Differentialquotienten mit Ergebnis 1 ein falsches Resultat liefert.

Und wieso das? Das ist eine einfache Anwendung der Kettenregel. Ich habe das Gefühl, dass hier wichtige Informationen fehlen.

10.06.2009, 19:15

Mulder

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Zitat:

Original von vektorraumWas soll das Strich in dem jeweiligen Kontext heißen???

Ach so, ich habe das T nicht als Variable direkt aufgefasst, sondern als Funktion, bei der man nicht weiß, wie die Temperatur nun letztendlich mit einfließt. Dann ist es natürlich banal, danke dir. Dann wird aus dem T'V'p' in meiner Endgleichung ja einfach eine 1 und ich bin fertig. Jetzt ist es klar. Ich hatte auch nicht beachtet, dass es ja eine Zustandsgleichung ist.

Den Ausführungen von WebFritzi konnte ich persönlich jetzt nicht wirklich folgen. Bist du sicher, dass du dich da jetzt nicht irgendwo vertust?

10.06.2009, 19:19

vektorraum

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Zitat:

Original von Mulder
Den Ausführungen von WebFritzi konnte ich persönlich jetzt nicht wirklich folgen. Bist du sicher, dass du dich da jetzt nicht irgendwo vertust?

Wenn du mir nicht glaubst, dann kannst du gerne auf Ausführungen von anderen warten. Ich habe es aber eigentlich im letzten Post begründet und so war auch die Argumentation meines Übungsleiters damals.

In der Tat ist ja deine Gleichung oben korrekt mit der -1. Schreib mal deine partiellen Ableitungen hin, multipliziere diese und setze die ideale Gasgleichung ein.

10.06.2009, 19:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mulder
Den Ausführungen von WebFritzi konnte ich persönlich jetzt nicht wirklich folgen. Bist du sicher, dass du dich da jetzt nicht irgendwo vertust?

Bezieh nicht immer alles auf dich, Vektorraum. Augenzwinkern

Es sollte hier klar gesagt werden, was von was abhängt.

10.06.2009, 19:36

WebFritzi

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Ich will mal das Problem verdeutlichen: Es gilt $\begin{eqnarray*} T = \frac{pV}{c}. \end{eqnarray*}$ Vektorraum sagt

$\begin{eqnarray*} \partial_p T = \frac V c. \end{eqnarray*}$

Aber es ist genau genommen

$\begin{eqnarray*} \partial_p T = \frac 1 c(V + p\partial_p V) = \frac V c + \frac p c\,\partial_p V. \end{eqnarray*}$

Also sagt Vektorraum

$\begin{eqnarray*} \partial_p V = 0. \end{eqnarray*}$

Aber wieso sollte dann nicht auch $\begin{eqnarray*} \partial_p T = 0 \end{eqnarray*}$ sein?

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