Potenz durch Fakultät = Nullfolge

Neue Frage »

www.owner Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz durch Fakultät = Nullfolge
Hallo,
ich stehe momentan vor dem Problem, zu beweisen, dass als Folge ein Nullfolge ist.
Dies soll laut Aufgabe direkt über die -Definition der Konvergenz von Reihnen bewiesen gehen. Es soll nicht mit dem Hinweis auf die Exponentialreihe gearbeitet werden..

Bisher habe ich mir Folgendes überlegt:
die Defintion lautet ja: .

Eingesetzt wäre das:
.

In einem anderen Beispiel hatten wir besprochen, dass man solche Probleme beispielsweise lösen kann, in dem man ein n0 findet, für das die Gleichung gilt (dass also für alle n, die größer als n0 sind, die Gleichung gilt).
Wie kann ich jetzt ein solches n herausbekommen bzw. abschätzen?
Umgestellt bekomme ich diese Gleichung nach n leider nicht.

Vielen Dank,
www.owner
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, hier stand Unfug.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz durch Fakultät = Nullfolge
Es gilt:




Wenn du dafür noch einen Beweis brauchst:

Wobei
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist eher eine Beweisskizze.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz durch Fakultät = Nullfolge
Dass man eine Summe oder ein Produkt durch Summanden-, oder Faktorenvergleich abschätzt ist durchaus üblich (z.B Exponential- durch geometrische Reihe).
Übrigens war offenbar niemand willens oder in der Lage dazu, dafür
Ungleichung mit Wurzel, Potenz und Fakultät beweisen
einen Beweis oder wenigstens eine Beweis"skizze" zu liefern.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte deinen Beweis auch nicht schmähen. Das ist eine schöne Idee. So ähnlich wie die Gaußsche Summenformel. Augenzwinkern Aber die ganzen Abschätzungen (die aufsteigende Folge von Produkten) sind des Guten etwas zu viel und gelten auch nicht für alle n. Es reicht, dass alle Produkte größer sind als n. Und das sind sie. Man muss noch etwas aufpassen mit ungeradem n. Aber das ist auch nicht so schwer.

Deine Ungleichung gilt übrigens nicht für n = 1. Augenzwinkern
 
 
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ursprünglich wollte ich nur zeigen, dass jeder einzelne Faktor größer n ist (ohne Ungleichungskette). Dann ist mir eingefallen, dass ein Produkt a*b mit der Eigenschaft a+b =const. immer dann am größten ist, wenn a=b. Also je enger a und b beieinander liegen, desto größer ist deren Produkt (klassisches Extremwertproblem). Für n=1 gilt diese Ungleichung nicht, dürfte aber für den Grenzwertbeweis keine Rolle spielen.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Ginge denn auch sowas?

Sei , für alle ist dann



Und die rechte Seite kann man beliebig klein machen, da sie von der Form konstante*Nullfolge ist.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich recht verstehe meinst du sowas:


Das hat mit nichts mehr zu tun, weil n von x unabhängig ist und bleiben muss. Wenn z.B. n = 5, ist für x=3



Ich könnte zu jedem n ein x(n) bestimmen, dass der Ausdruck immer größer 1 bleibt und somit keine Nullfolge ist. Du machst zwar die Einschränkung . Dies ist aber unzulässig, weil es für alle x und n gelten muss und nicht nur wenn x deutlich kleiner als n bleiben muss. Und selbst wenn das erlaubt wäre, reicht nicht aus, dass eine Nullfolge ist, weil noch stärker gegen unendlich laufen könnte. Du unterstellst schon, dass irgendwie beschränkt bleibt, was du ja erst zu beweisen hast!
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war der Meinung, dass x fest gewählt ist, und nicht variiert, deshalb habe ich auch angenommen, dass konstant ist.

In der Definition die der Threadersteller gepostet hat, muss die Abschätzung doch auch nicht für alle x gleichzeitig gelten.

Wenn ist und wenigstens für ist

frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In der Definition die der Threadersteller gepostet hat, muss die Abschätzung doch auch nicht für alle x gleichzeitig gelten.


a) Es gibt keine Einschränkung z.B. n>2x oder so. Wenn ja, wo steht sie?
b) ist nicht dasselbe wie , d.h. du kannst eine Funktion nicht durch eine ersetzen und schon gar nicht durch eine Konstante.
c) Du bleibst immer noch den Beweis schuldig, dass
nicht gegen unendlich läuft, dann immerhin wächst mit nunehmendem auch

Ich könnte folgendes behaupten:


Beweis: Wähle
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll eine Konstante gegen unendlich laufen? Ich rede nicht von einer Einschränkung, aber wenn mir jemand ein x vorgibt, und wissen will, ob die Folge konvergiert, kann ich ihm ein angeben, ab dem die Folge durch eine Nullfolge nach oben beschränkt wird.

Deinen Beweis, der mich wohl auf meinen Trugschluss hinweisen soll, verstehe ich nicht. Dort ist auch x>0 (für negative gilt ähnliches) fest gewählt und zu jedem M existiert ein , so dass für alle folgt dass ist, also geht xn gegen unendlich.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Ungewiss: Deine Abschätzung gilt nur für x < 1/2.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Die Einsicht ist bei mir aber immer noch nicht eingetreten traurig

Wenn x=5 ist, und ich n_0=11 wähle ist doch für alle n>n_0



Warum gilt die Abschätzung denn nicht?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, also allgemein so: Seien und Dann gilt



Das sieht doch ganz gut aus. smile
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Fresse, da fällt mir jetzt ein Stein vom Herzen. Ich dachte schon ich wäre nicht mehr zurechnungsfähig verwirrt

Vielen Dank Webfritzi.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar waren frank und ich nicht zurechnungsfähig. Augenzwinkern Aber zu unserer Verteidigung muss man sagen, dass du deine Idee denkbar schlecht verkauft hast - sprich: eine nachvollziehbare Begründung fehlte.
www.owner Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die vielen Ideen. Die Lösung von Ungewiss, mit der Erklärung von WebFritzi gefällt mir persönlich am Besten.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »