Potenz durch Fakultät = Nullfolge |
10.06.2009, 23:23 | www.owner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Potenz durch Fakultät = Nullfolge ich stehe momentan vor dem Problem, zu beweisen, dass als Folge ein Nullfolge ist. Dies soll laut Aufgabe direkt über die -Definition der Konvergenz von Reihnen bewiesen gehen. Es soll nicht mit dem Hinweis auf die Exponentialreihe gearbeitet werden.. Bisher habe ich mir Folgendes überlegt: die Defintion lautet ja: . Eingesetzt wäre das: . In einem anderen Beispiel hatten wir besprochen, dass man solche Probleme beispielsweise lösen kann, in dem man ein n0 findet, für das die Gleichung gilt (dass also für alle n, die größer als n0 sind, die Gleichung gilt). Wie kann ich jetzt ein solches n herausbekommen bzw. abschätzen? Umgestellt bekomme ich diese Gleichung nach n leider nicht. Vielen Dank, www.owner |
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11.06.2009, 00:03 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldige bitte, hier stand Unfug. |
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11.06.2009, 00:15 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Potenz durch Fakultät = Nullfolge Es gilt: Wenn du dafür noch einen Beweis brauchst: Wobei |
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11.06.2009, 02:04 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, das ist eher eine Beweisskizze. |
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11.06.2009, 03:46 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Potenz durch Fakultät = Nullfolge Dass man eine Summe oder ein Produkt durch Summanden-, oder Faktorenvergleich abschätzt ist durchaus üblich (z.B Exponential- durch geometrische Reihe). Übrigens war offenbar niemand willens oder in der Lage dazu, dafür Ungleichung mit Wurzel, Potenz und Fakultät beweisen einen Beweis oder wenigstens eine Beweis"skizze" zu liefern. |
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11.06.2009, 05:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wollte deinen Beweis auch nicht schmähen. Das ist eine schöne Idee. So ähnlich wie die Gaußsche Summenformel. Aber die ganzen Abschätzungen (die aufsteigende Folge von Produkten) sind des Guten etwas zu viel und gelten auch nicht für alle n. Es reicht, dass alle Produkte größer sind als n. Und das sind sie. Man muss noch etwas aufpassen mit ungeradem n. Aber das ist auch nicht so schwer. Deine Ungleichung gilt übrigens nicht für n = 1. |
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11.06.2009, 13:04 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ursprünglich wollte ich nur zeigen, dass jeder einzelne Faktor größer n ist (ohne Ungleichungskette). Dann ist mir eingefallen, dass ein Produkt a*b mit der Eigenschaft a+b =const. immer dann am größten ist, wenn a=b. Also je enger a und b beieinander liegen, desto größer ist deren Produkt (klassisches Extremwertproblem). Für n=1 gilt diese Ungleichung nicht, dürfte aber für den Grenzwertbeweis keine Rolle spielen. |
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11.06.2009, 13:26 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ginge denn auch sowas? Sei , für alle ist dann Und die rechte Seite kann man beliebig klein machen, da sie von der Form konstante*Nullfolge ist. |
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11.06.2009, 14:54 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich dich recht verstehe meinst du sowas: Das hat mit nichts mehr zu tun, weil n von x unabhängig ist und bleiben muss. Wenn z.B. n = 5, ist für x=3 Ich könnte zu jedem n ein x(n) bestimmen, dass der Ausdruck immer größer 1 bleibt und somit keine Nullfolge ist. Du machst zwar die Einschränkung . Dies ist aber unzulässig, weil es für alle x und n gelten muss und nicht nur wenn x deutlich kleiner als n bleiben muss. Und selbst wenn das erlaubt wäre, reicht nicht aus, dass eine Nullfolge ist, weil noch stärker gegen unendlich laufen könnte. Du unterstellst schon, dass irgendwie beschränkt bleibt, was du ja erst zu beweisen hast! |
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11.06.2009, 15:11 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich war der Meinung, dass x fest gewählt ist, und nicht variiert, deshalb habe ich auch angenommen, dass konstant ist. In der Definition die der Threadersteller gepostet hat, muss die Abschätzung doch auch nicht für alle x gleichzeitig gelten. Wenn ist und wenigstens für ist |
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11.06.2009, 15:52 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Es gibt keine Einschränkung z.B. n>2x oder so. Wenn ja, wo steht sie? b) ist nicht dasselbe wie , d.h. du kannst eine Funktion nicht durch eine ersetzen und schon gar nicht durch eine Konstante. c) Du bleibst immer noch den Beweis schuldig, dass nicht gegen unendlich läuft, dann immerhin wächst mit nunehmendem auch Ich könnte folgendes behaupten: Beweis: Wähle |
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11.06.2009, 16:14 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie soll eine Konstante gegen unendlich laufen? Ich rede nicht von einer Einschränkung, aber wenn mir jemand ein x vorgibt, und wissen will, ob die Folge konvergiert, kann ich ihm ein angeben, ab dem die Folge durch eine Nullfolge nach oben beschränkt wird. Deinen Beweis, der mich wohl auf meinen Trugschluss hinweisen soll, verstehe ich nicht. Dort ist auch x>0 (für negative gilt ähnliches) fest gewählt und zu jedem M existiert ein , so dass für alle folgt dass ist, also geht xn gegen unendlich. |
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11.06.2009, 16:21 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Ungewiss: Deine Abschätzung gilt nur für x < 1/2. |
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11.06.2009, 16:29 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. Die Einsicht ist bei mir aber immer noch nicht eingetreten Wenn x=5 ist, und ich n_0=11 wähle ist doch für alle n>n_0 Warum gilt die Abschätzung denn nicht? |
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11.06.2009, 16:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha, also allgemein so: Seien und Dann gilt Das sieht doch ganz gut aus. |
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11.06.2009, 16:42 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Fresse, da fällt mir jetzt ein Stein vom Herzen. Ich dachte schon ich wäre nicht mehr zurechnungsfähig Vielen Dank Webfritzi. |
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11.06.2009, 16:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Offenbar waren frank und ich nicht zurechnungsfähig. Aber zu unserer Verteidigung muss man sagen, dass du deine Idee denkbar schlecht verkauft hast - sprich: eine nachvollziehbare Begründung fehlte. |
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11.06.2009, 21:32 | www.owner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die vielen Ideen. Die Lösung von Ungewiss, mit der Erklärung von WebFritzi gefällt mir persönlich am Besten. |
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