Gradient / Mittelwertsatz

11.06.2009, 12:16

datAnke

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Gradient / Mittelwertsatz

Hallo und schon mal vielen Dank,

Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig diff'bar, $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ .
Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
Ist grad f = 0 auf B(y,r), so ist f konstant auf B(y,r).

das die Funktion konstant ist, wenn der Gradient Null ist, das ist schon klar, und auch sehr einleuchtend,
nur was hat das mit dem B(y,r) zu tun? verwirrt

verwirrt

danke
datAnke

11.06.2009, 13:07

Dual Space

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RE: Gradient / Mittelwertsatz
B(y,r) ist einfach nur eine (welche?) Teilmenge des R^n. Wo ist also dein Problem?

11.06.2009, 13:14

datAnke

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RE: Gradient / Mittelwertsatz
hmm, also nehme ich einfach zwei pkt aus dieser menge und zeige das es f(a)=f(b)

danke
datAnke

11.06.2009, 13:35

Dual Space

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RE: Gradient / Mittelwertsatz
Nimm besser an es gäbe zwei Punkte a und b, so dass f(a) verschieden von f(b) ist und wende den Mittelwertsatz an, um ein Widerspruch zu konstruieren.

11.06.2009, 13:58

datAnke

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RE: Gradient / Mittelwertsatz
ok, dann versuch ich das mal so rum,

danke
datAnke

11.06.2009, 20:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Nimm besser an es gäbe zwei Punkte a und b, so dass f(a) verschieden von f(b) ist und wende den Mittelwertsatz an, um ein Widerspruch zu konstruieren.

Warum das? verwirrt

verwirrt

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11.06.2009, 20:42

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Warum das? verwirrt

verwirrt

Viele Wege führen nach Rom. Das wäre halt mein Vorschlag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2009, 21:13

WebFritzi

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Das wäre mal wieder ein überflüssiger Widerspruchsbeweis.

Zitat:

Original von datAnke
hmm, also nehme ich einfach zwei pkt aus dieser menge und zeige das es f(a)=f(b)

Genau. Dabei wäre es noch wichtig zu erwähnen, dass die Kugel B(y;r) konvex ist, also der Weg von a nach b darin enthalten ist.

11.06.2009, 22:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi
Dabei wäre es noch wichtig zu erwähnen, dass die Kugel B(y;r) konvex ist, also der Weg von a nach b darin enthalten ist.

Das kann man übrigens mit einem topologischen Argument abschwächen zur Forderung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend sein soll.

11.06.2009, 23:00

WebFritzi

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Ist das so? Muss der Weg hier nicht diffbar sein? Oder kann man für offene Mengen jeden stetigen Weg von x nach y mit einem diffbaren ersetzen?

11.06.2009, 23:04

WebFritzi

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Ah ja, zumindest stückweise diffbar. Und das reicht hier.

11.06.2009, 23:13

Mathespezialschüler

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Die Offenheit habe ich jetzt stillschweigend mal vorausgesetzt. Dann hat man natürlich auch Wegzusammenhang und je zwei Punkte lassen sich polygonal verbinden. Das braucht man aber alles gar nicht. Es geht mithilfe der obigen Aufgabe so:

Demnach ist nämlich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lokal konstant. Eine lokal konstante Funktion ist aber schon auf allen Zusammenhangskomponenten konstant, insbesondere auf dem ganzen Raum, wenn er zusammenhängend ist, denn: Ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ das Definitionsgebiet, $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt und $\begin{eqnarray*} G:=\{x\in D\ |\ f(x)=f(x_0)\} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen, denn für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ gibt es ja eine ganze Umgebung (Kugel z.B. wegen der Offenheit), in der diese Gleichung immer noch gilt. Analog ist aber auch das Komplement von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , da für ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(x_0) \end{eqnarray*}$ diese Ungleichung ebenfalls in einer ganzen Umgebung gilt. Also ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen und wegen $\begin{eqnarray*} G\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} G=D \end{eqnarray*}$ .

11.06.2009, 23:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Demnach ist nämlich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lokal konstant. Eine lokal konstante Funktion ist aber schon auf allen Zusammenhangskomponenten konstant

Natürlich. Hammer

Hammer

Das kann man auch mit einem Kompaktheitsargument und dem Wegzusammenhang beweisen.

11.06.2009, 23:32

Mathespezialschüler

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Hm, was für ein Kompaktheitsargument? Der Raum kann doch auch nicht kompakt sein und die Aussage gilt trotzdem. verwirrt

verwirrt

11.06.2009, 23:46

WebFritzi

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Das meinte ich nicht. Also, f ist lokal konstant. Seien x und y aus D (dem offenen und zusammenhängenden Definitionsbereich). Dann gibt es einen stetigen Weg von x nach y, der in D verläuft (Wegzusammenhang). Die Spur des Weges ist kompakt. Daher gibt es endlich viele Punkte auf der Spur und Kugeln um diese Punkte, die den gesamten Weg überdecken und auf denen f jeweils konstant ist. Nun folgt f(x) = f(y) aus der Stetigkeit von f.

11.06.2009, 23:52

Mathespezialschüler

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Ah ok. So gehts natürlich auch. smile

smile

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