Gradient

11.06.2009, 15:34

kaktusfeige

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Gradient

Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe:
Sei f(x,y) >= f(0) für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [-1,1] Zeigen Sie dass gradf(0) = 0.
Also, wie man einen Gradienten bestimmt das weiß ich.
Der wäre in diesen Fall $\begin{eqnarray*} (\frac{\delta f}{\delta x} (0) , \frac{\delta f}{\delta y} (0))^t \end{eqnarray*}$ , oder.
Es müssen dann doch beide Einträge dieses Vektors zu Null werden.
Nur weiß ich leider nicht, wie ích da rangehen soll.
Danke für eure Hilfe

11.06.2009, 15:37

tigerbine

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RE: Gradient
Was bedeutet denn:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \geq f(0)~\forall x,y \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

für den Punkt (0/f(0))? Und wie lautet dort [Für welche Funktionen ist der Gradient denn definiert] eine notwendige Bedingung?

11.06.2009, 16:17

Dual Space

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RE: Gradient

Zitat:

Original von kaktusfeige
Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe:
Sei f(x,y) >= f(0) für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [-1,1] Zeigen Sie dass gradf(0) = 0.

Das ist im allgemeinen falsch, denn der Gradient muss gar nicht existieren. Nenne bitte alle Voraussetzungen!

11.06.2009, 16:18

tigerbine

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RE: Gradient

Zitat:

Original von tigerbine
[Für welche Funktionen ist der Gradient denn definiert]

War mein Hinweis wohl doch zu indirekt....

11.06.2009, 16:20

Dual Space

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RE: Gradient
Nunja ... ich hätte halt immer gern die ganze Aufgabe, bevor man irgendwas diskutiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2009, 19:20

kaktusfeige

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Hab ich vergessen: eine Angabe ist noch, dass die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ existieren. Nur ich weiß nicht wie das jetzt weiterhelfen soll. Sonst gibt es aber keine weiteren Angaben
@ tigerbine: Wie kommst du auf den Punkt (0, f(0)). y hängt doch gar nicht von x ab, oder? Der Gradient ist nur für total diffbare Funktionen definiert, aber was bringt mir das?

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11.06.2009, 19:26

tigerbine

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Zitat:

Original von kaktusfeige
Hab ich vergessen: eine Angabe ist noch, dass die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ existieren. Nur ich weiß nicht wie das jetzt weiterhelfen soll.

Was ist denn der Gradient?

Du hattest f(0) geschrieben. Dann warst du ungenau. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit (0, f(0)) meinte ich einen Punkt auf dem Graphen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Präziser Wohl ((0,0), f(0,0)).

11.06.2009, 19:34

kaktusfeige

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Heißt das das f(0,0) nicht 0 sein kann? Der Gradient ist ein Tangentialvektor der in die Richtung des Stärksten Anstiegs von f zeigt, wenn er 0 ist müsste die Funktion flach verlaufen, also nicht steigen, oder

11.06.2009, 19:36

tigerbine

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unglücklich

Gib mir mal eine "math. Definition" von dem Gradienten, und versuche nicht, ihn mit Worten zu erklären.

11.06.2009, 19:59

kaktusfeige

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Der Gradient bei x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U einer total diffbaren Funktion f U $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , U $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ ist der Tangentialvektor
grad f(x) = $\begin{eqnarray*} (\frac{\delta f}{\delta x_1} (x) ... \frac{\delta f}{\delta x_m} (x))^t \end{eqnarray*}$ an x.

11.06.2009, 20:07

tigerbine

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Und was sind denn die

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_1} (x) \end{eqnarray*}$

11.06.2009, 20:14

WebFritzi

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Wir definieren

$\begin{eqnarray*} f_1(x) := f(x,0),\;\;x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f_2(y) := f(0,y),\;\;y\in (-1,1). \end{eqnarray*}$

Das sind nun "normale" Funktionen von IR nach IR. Dann gelten laut Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} (1)\quad f_1(x)\ge f_1(0)\;\forall x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (2)\quad f_2(y)\ge f_2(0)\;\forall y\in (-1,1). \end{eqnarray*}$

Was folgerst du jeweils aus (1) und (2)?

11.06.2009, 23:37

kaktusfeige

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Ääääääh... nichts. Erstaunt2

Erstaunt2

Da werd ich nicht richtig schlau daraus.
So ähnlich stand es doch auch schon in der Angabe.
Was sollte ich denn daraus folgern? Hilfe

Hilfe

11.06.2009, 23:40

tigerbine

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Beantworte doch bitte mal meine FRage. Dann kommen wir auch auf Dual space's Einwand.

Ferner überlege endlich selbst, was es wohl heißt, dass alle Werte einer Funktion größer gleich einem Wert an einer bestimmten Stelle sind. Ob nun in 2D oder wie bei WebFritzi ist doch "egal". Langsam sollte mal was bei dir klingeln....

12.06.2009, 11:47

kaktusfeige

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Das sind die partiellen Ableitungen an den Stellen x1 bix xn.
Was meinst du denn, das ich mache? Mich auf die faule Haut legen?
Mit Sicherheit nicht! Ich versuch immer noch aus den ganzen Andeutungen, die Ihr hier gemacht habt schlau zu werden, aber es sind halt nicht alle so gescheit, dass sie in einem Matheforum mit einer Antwort gleich auf die Lösung kommen.
Ich jedenfalls nicht. Ich stehe immer noch genauso da wie am Anfang.
Kann mir jetzt bitte mal einer sagen, was hier so offensichtlich sein soll?

12.06.2009, 12:03

tigerbine

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Die partiellen Ableitungen. Genau. Freude

Freude

Daher müssen die ja erstmal existieren. Darauf wollte Dual Space hinaus. Denn ohne sie existiert der Gradient gar nicht.

Nun schau die bitte mal mein Bild an. Der Punkt (0/-0.5) ist ein WAS? Das musst du doch aus der Schule kennen. Und vielleicht verstehst du dann auch, dass wir nicht so ganz verstehen, warum du nicht auf das Wort kommst.....Es fängt mit M an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.06.2009, 13:08

WebFritzi

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Du hast eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_0. \end{eqnarray*}$ Für alle anderen x ist der Funktionswert f(x) größer als $\begin{eqnarray*} f(x_0). \end{eqnarray*}$ Wie nennt man dann $\begin{eqnarray*} x_0? \end{eqnarray*}$ Das musst du doch wissen.

Ich denke übrigens nicht, dass dir so bald jemand sagen wird, was hier so offensichtlich ist. Das wäre dann nämlich schon die Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.06.2009, 22:53

kaktusfeige

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Ja, das ist das Minimum. (Sorry, das war vielleicht schon zu offensichtlich, ich hab da viel komplizierter gedacht) Aber könnte es nicht sein, dass dieses Minimum im Definitionsbereich öfters vorkommt (wegen größer gleich , es muss ja keine Parabel sein sondern irgendeine Funktion, die z.B. die Punkte (0, 0,5) und
(0.5, 0.5) als Minima hat.
Heißt das das an einem Extremwert der Gradient den Wert 0 hat, die Funktion aufgrund der Voraussetzung an der Stelle 0 einen Extremwert hat, die part. Ableitungen also 0 sein müssen, woraus man messerscharf folgern kann, dass der Gradient 0 sein muss?
Stimmt diese Agumentation?

12.06.2009, 23:11

tigerbine

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Es geht doch nur um die Stelle (0,0). Sicher kann es noch andere Stellen geben, wegen dem kleiner gleich. Doch ein Blick in die Definition schafft Abhilfe. Es liegt also ein globales Minimum vor. Nun wirft man einen Blick in die notwendigen Bedingungen, und schon ist die Aufgabe gelöst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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