Blockmatrizen, Minimalpolynom

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11.06.2009, 16:53	Thomaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Blockmatrizen, Minimalpolynom Es geht um folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_n \end{pmatrix}\in K^{m\times m} \end{eqnarray}$ eine Blockdiagonalmatrix. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ das kgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ ist. Wie muss ich hier vorgehen? Also im Prinzip ist das völlig klar, das jetzt formal zu zeigen bereitet mir Schwierigkeiten. Kann ich annehmen dass $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ das kgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ ist? und dann zeigen dass $\begin{eqnarray} \mu_A(A)=0 \end{eqnarray}$ ist? Danke im voraus für reichliche Tipps und Hinweise.
11.06.2009, 17:05	Thomaso	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Blockmatrizen, Minimalpolynom Meine Idee wäre folgende: Sei $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ das kgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} \mu_A(A_i)=0, i=1,...,n \Leftrightarrow \mu_A(A)=0 \end{eqnarray}$ . Somit hätte ich ja schonmal gezeigt dass mein ausgewähltes $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ die Matrix "killt". Allerdings könnte es ja ein Polynom kleineren Grades geben, das die Matrix schon "killt". Dazu folgendes: Sei $\begin{eqnarray} \mu_{A'} \end{eqnarray}$ nicht das kgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ so $\begin{eqnarray} \exists A_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu_{A'}(A_i)\neq 0 \Leftrightarrow \mu_{A'}(A)\neq 0 \end{eqnarray}$ . Also folgt: $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ ist das kgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ Ist das richtig so?
11.06.2009, 17:13	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige $\begin{eqnarray} p(A) = 0\,\Longleftrightarrow\;\forall\,i : \mu_{A_i}\,\|\,p. \end{eqnarray}$ Dann folgt die Aussage.
11.06.2009, 17:26	Thomaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann versuche ich es mal. " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} p(A)=0 \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} p(A_i)=0\forall i \Rightarrow \mu_{A_i}\|p ,\forall i \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Es gilt: $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}\|p ,\forall i\Rightarrow \exists Q\in k[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p=\mu_{A_i}Q \end{eqnarray}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray} p(A_i)=\mu_{A_i}(A_i)\cdot Q(A_i)=0\cdot Q(A_i)=0,\forall i \Rightarrow p(A)=0 \end{eqnarray}$ Wie siehts aus? Ist da was falsch dran?
11.06.2009, 17:34	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, beim zweiten. Das Q ist nicht konstant, sondern hängt von i ab. Und vergiss nicht, überall " $\begin{eqnarray} \forall i \end{eqnarray}$ " hinzuschreiben. Weiter sollte noch erwähnt werden, dass für ein Polynom p gilt $\begin{eqnarray} p(A) = \begin{pmatrix}p(A_1) & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & p(A_n)\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ EDIT: Am Ende musst du aus der bewiesenen Aussage natürlich noch die zu beweisende Aussage folgern.
11.06.2009, 17:40	Thomaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok bis auf das letzte. Es muss aus der bewiesenen Aussage noch die zu beweisende Aussage folgen. Wieso folgt das denn daraus, du hast mir jetzt gezeigt was ich zeigen soll, aber wieso folgt daraus jetzt dass es das kgV sein muss?
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11.06.2009, 17:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk da selber erstmal noch ein bisschen drüber nach. Nur soviel: Das kgV von a_1,...,a_n ist wie folgt definiert min{a : für alle i gilt a_i \| a}. Das "min" ist bei Polynomen als "kleinster Grad" zu verstehen.
11.06.2009, 18:07	Thomaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe es verstanden. Hast du dir auch meinen Beweis vorher angeguckt, was sagst du eigentlich dazu? Ist das so verkehrt?
11.06.2009, 18:34	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Möglicherweise ist dein Vorgehen richtig, nur ist es unverständlich aufgeschrieben. Vor allem die Bezeichnungen sind nicht in Ordnung. Z.B. ist $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ ein festes Polynom - und zwar das Minimalpolynom von A. Du kannst also nicht sagen: "Sei $\begin{eqnarray} \mu_A \end{eqnarray}$ das KgV der $\begin{eqnarray} \mu_{A_i}. \end{eqnarray}$ " Das ist aber nicht das einzig Unverständliche. Die 3. Zeile von unten (in deinem 2. Beitrag) ist für mich ebenfalls nicht verständlich.

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