Grenzwert einer Reihe

Neue Frage »

11.06.2009, 17:38	sprungfeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe Ich hab folgende Aufgabe zu lösen: Zeigen sie, dass für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \left\| x \right\|<1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(n-2)\cdot(n-1)}{2} \cdot x^{n}=(\frac{x}{1-x})^{3} \end{eqnarray}$ Den Grenzwert einer Reihe erhalte ich ja durch Berechnung des Grenzwertes des Folge der Partialsummen. Also habe ich das mal versucht, und die n-te Partialsumme aufgestellt: $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{k=1}^n~\frac{(k-2)\cdot (k-1)}{2} \cdot x^{k}=0+0+x^{3}+3 \cdot x^{4}+6 \cdot x^{5}+...+\frac{(k-3)\cdot(k-2)}{2}\cdot x^{k-1}+\frac{(k-2)\cdot(k-1)}{2}\cdot x^{k} \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Man könnte noch $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ ausklammern, aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter, auch bei der SuFu hier im Forum hab ich nicht wirklich was für meinen Fall hilfreiches gefunden... Bisher war es auch immer so, dass sich bei der Partialsumme sehr viele Teile gegenseitig aufgehoben haben (Teleskopsumme?), sodass dann ein sehr überschaubarer Term mit max. 4 Summanden übrigblieb, dessen Grenzwert leicht zu sehen war. Hier aber fehlt mir schon der richtige Ansatz, wie ich jetzt hier mit Umformungen weitermachen könnte... Wäre nett von euch, wenn mir also jemand einne Hinweis geben könnte, wie ich jetzt weiterzumachen habe bzw. ob mein Vorgehen bisher überhaupt richtig ist/war...
11.06.2009, 18:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(n-2)(n-1)} 2\, x^n &=& \sum_{n=3}^\infty \frac{(n-2)(n-1)} 2\, x^n\\ &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)(n+2)} 2 \,x^{n+3}\\ &=& x^3 \,\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)(n+2)} 2\, x^n. \end{eqnarray}$ Und nun verwende, dass man Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzradius gliedweise ableiten kann.
11.06.2009, 18:49	sprungfeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, danke erstmal. Leider hilft mir das aber nicht weiter, da eine Ableitung von Potenzreihen in der Vorlesung bisher nicht vorgekommen ist.
11.06.2009, 19:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mache es über das Cauchy-Produkt, und zwar in zwei Schritten: Im ersten Schritt $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} = \left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{\infty} x^j \right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \end{eqnarray}$ , mit zu bestimmenden $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , und dann im zweiten Schritt $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-x)^3} = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{\infty} x^j \right) = \cdots \end{eqnarray}$ , Wie die dann noch nötige Multiplikation mit $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ zu händeln ist, hat dir ja WebFritzi schon gezeigt.
11.06.2009, 20:44	sprungfeld	Auf diesen Beitrag antworten »
So, auch an dich erstmal ein Danke, hab jetz das ausprobiert, und bin IMO auch relativ weit gekommen; ich hab die beiden Schritte mal in einen gequetscht: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-x)^3}=\sum_{i=0}^\infty~x^{i} \cdot \sum_{j=0}^\infty~x^{j} \cdot \sum_{k=0}^\infty~x^{k}=(\sum_{m=0}^\infty~(\sum_{i+j=m}~1 \cdot 1 \cdot x^{i} \cdot x^{j})) \cdot \sum_{k=0}^\infty~x^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\sum_{m=0}^\infty~(\sum_{i+j=m}~1)\cdot x^{n}) \cdot \sum_{k=0}^\infty~x^{k}=(\sum_{m=0}^\infty~(m+1)\cdot x^{n}) \cdot \sum_{k=0}^\infty~x^{k}=\sum_{n=0}^\infty~(\sum_{m+k=n}~ x^{m} \cdot x^{k}\cdot(m+1)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty~(\sum_{m+k=n}~x^{n}\cdot(m+1)) \end{eqnarray}$ Soweit, so gut (hoffentlich). Mir ist jetzt klar, dass dann endgültig dastehen muss $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty~\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}\cdot x^{n} \end{eqnarray}$ . Die Begründung dafür müsste ja sein, dass $\begin{eqnarray} \sum_{l=0}^{n}~l=\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ gilt. Die Frage, die sich aber mir stellt, ist, ob das überhaupt so bis dahin richtig ist, und ob ich den letzten, gerade beschriebenen Schritt so machen darf bzw. - wenn das richtig ist - mit welche Begründung?
11.06.2009, 21:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist alles ok. Am Ende kannst du noch weiter rechnen: $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty~(\sum_{m+k=n}~x^{n}\cdot(m+1)) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m+k=n}(m+1)\right)x^n = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^n (m+1)\right)x^n \end{eqnarray}$ Jetzt noch ein Schritt, und du kannst deine Summenformel anwenden.
Anzeige

11.06.2009, 21:50	sprungfeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summenformel kann ich doch schon direkt anwenden, oder seh ich da was falsch? Schließlich gilt doch $\begin{eqnarray} \sum_{m=0}^n~(m+1)=\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2} \end{eqnarray}$ ? Eine Rückfrage hätte ich noch: Du ersetzt $\begin{eqnarray} \sum_{m+k=n}~(m+1) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sum_{m=0}^{n}~(m+1) \end{eqnarray}$ , weil m eben Werte zwischen 0 (wenn k=n) und n (wenn k=0) annimmt? Und größer als n kann es nicht werden, weil ja k>0 ist, richtig?
11.06.2009, 21:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. k >= 0. Sonst ist alles richtig, was du schreibst.
11.06.2009, 21:59	sprungfeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einfachste hab ich wieder verbockt Dann sag ich nochmal ein herzliches Dankeschön!!

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Reihe

Verwandte Themen