Orthogonalprojektion idempotent

11.06.2009, 20:38

Max Simon

Orthogonalprojektion idempotent

Hallo

Folgendes Problem:

Wir sollen zeigen, dass jede Orthogonalprojektion im IR^n idempotent ist.

(Die genaue Aufgabenstellung lautet: Zeigen Sie: Die Orthogonalprojektionen im euklidischen Vektorraum IR^n sind idempotente Endomorphismen des IR^n.)

Sei also f eine Orthogonalprojektion (Endomorphismus).
f bildet somit jeden Vektor x (aus IR^n) so auf einen Vektor x' (aus einem Untervektorraum U) ab, dass <x-x',y> = 0 für alle y aus U.

Idenmpotent heißt, dass f(f(x)) = f(x) für alle x.

f ist ja eine Lineare Abildung und hat deshalb eine Darstellungsmatrix A.
Um die Idempotentität (?) zu zeigen, muss ich doch nachweisen, dass A² = AA = A ist.

Doch hier mir fehlt bisher jeder Ansatz, das zeigen zu können.

Um A zu bestimmen, brauch ich eine Basis des IR^n.
Sei also {b1, b2, ... , bn} eine Basis des IR^n.

Aber wie kann ich irgendwie weiter machen?

Kann es sein, dass am Ende A = E rauskommt? Dann ist die Sache mit dem idempotent ja klar.
Aber ich glaube, dass kann nicht hinkommen, außerdem muss ich ja zeigen, dass es ein Endomorphismus ist, also dass f: IR^n --> IR^n.

Bitte helft mir.

Dankeschön!
LG Max

11.06.2009, 20:51

WebFritzi

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Nennen wir die Projektion mal P. Also P bildet x auf Px ab. Du weißt

$\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R^n\,\forall y\in U : \langle x - Px,y\rangle = 0. \end{eqnarray*}$

Weiter solltest du wissen, dass P eine lineare Abbildung ist. Also haben wir

$\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R^n\,\forall y\in U : \langle (I - P)x,y\rangle = 0, \end{eqnarray*}$

wobei I die identische Abbildung sei. Wir wollen Px - P²x = 0 zeigen für alle x aus dem IR^n $\begin{eqnarray*} (P^2x = P(P(x))). \end{eqnarray*}$ Da U das Bild von P ist, liegen sowohl Px als auch P²x in U, also liegt Px - P²x in U. Zeige nun

$\begin{eqnarray*} \langle Px - P^2x,y\rangle = 0\;\;\forall x\in\mathbb R^n\,\forall y\in U. \end{eqnarray*}$

Dann folgt auch

$\begin{eqnarray*} \|Px - P^2x\|^2 = \langle Px - P^2x,Px - P^2x\rangle = 0, \end{eqnarray*}$

also Px = P²x.

12.06.2009, 02:33

Max Simon

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also die Schritte verstehe ich ja alle.

Doch beim Zeigen des fehlenden Teils ist mir immer noch nicht klar, wie ich sowas machen kann, und vor allem nicht, was mir dabei die identische Abbildung bringt (warum ist das eigentlich keine 1?)

Es sieht ja recht einfach aus:

Es gilt $\begin{eqnarray*} <x-Px,y>=0 \end{eqnarray*}$ und gelten soll $\begin{eqnarray*} <Px-P²x,y>=0 \end{eqnarray*}$ , also einfach mit P multiplizieren. Nur geht das ja nicht so einfach, weil P ja keine reelle Zahl ist.
Dafür ist aber das Skalarprodukt eine reelle Zahl.
Es gilt also $\begin{eqnarray*} <x-Px,y>P=0P=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Elemente von P werden alle mit <x-Px,y> multipliziert.

P hat ja die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p_{11} & ... & p_{1m} \\ ... & ... & ... \\ p_{m1} & ... & p_{mm} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <x-Px,y>p_{11} & ... & <x-Px,y>p_{1m} \\ ... & ... & ... \\ <x-Px,y>p_{m1} & ... & <x-Px,y>p_{mm} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier könnte ich zwar nun die Faktoren in das Skalarprodukt mit reinziehen, aber das bringt mich auch nicht weiter..

Eine weitere Idee war, das Skalarprodukt als Summe aufzufassen, also eine Art $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~{(x_k-(Px)_k)y_k} = 0 \end{eqnarray*}$
Weil y beliebig, folgt $\begin{eqnarray*} x_k-(Px)_k = 0 \end{eqnarray*}$ für alle k.
Also $\begin{eqnarray*} x_k = (Px)_k \Rightarrow Px_k = P(Px)_k = (P²x)_k \end{eqnarray*}$

Doch das ist doch alles ziemlich komisch muss ich mal sagen. kann mir auch nicht vorstellen, dass man so rechnen darf, aber mir fällt nichts besseres ein.

Ich muss leider doch nochmal um weitere Hilfe bitten.

12.06.2009, 03:30

WebFritzi

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Meine Güte, was machst du denn da? Tut mir leid, aber das ist alles unbrauchbar.

Zitat:

Original von WebFritzi
Zeige nun

$\begin{eqnarray*} \langle Px - P^2x,y\rangle = 0\;\;\forall x\in\mathbb R^n\,\forall y\in U. \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} \langle Px - P^2x,y\rangle = \langle Px - PPx,y\rangle = \dots. \end{eqnarray*}$

Setze doch mal x' := Px.

12.06.2009, 23:00

Max Simon

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Oh Mann,

nachdem ich nun nochmal ewig zig Möglichkeiten (ähnlich sinnvoll wie die oben) ausprobiert hab und natürlich immer gescheitert bin, fällt es mir nun endlich wie Schuppen von den Augen^^

Dabei ist doch alles klar:

$\begin{eqnarray*} <Px-P²x,y> = <Px-PPx,y> = <(Px) - P(Px),y> \end{eqnarray*}$
Dies ist doch gerade wieder die Darstellung der Orthogonalprojektion P und nach Voraussetzung gleich 0.

Dannach folgt:

$\begin{eqnarray*} 0 = <Px-P²x,y> \Rightarrow Px-P²x = 0 \end{eqnarray*}$ (weil y bel.) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow Px=P²x \end{eqnarray*}$

Die Umformung mit der identischen Abbildung braucht man dann gar nicht, oder?

Wie dem auch sei ... ich hab hier leider viel zu viel Zeit durch sinnlose Ansätze verschwendet.

Danke, dass du mir aus dieser Lage geholfen hast.^^

Schönen Abend/Nacht noch. Max

13.06.2009, 11:25

saz

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Aber bei dieser Argumentation muss man doch ein bisschen vorsichtig sein oder? Es gilt ja schließlich bei der Orthogonalprojektion immer $\begin{eqnarray*} \forall y \in U \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <x-x',y> = 0 \end{eqnarray*}$

Mit der obigen Argumentation wäre ja dann immer x=x', was ja nun mal nicht stimmt. Die kann man ja oben nur anbringen, weil das Bild eindeutig bestimmt ist und $\begin{eqnarray*} Px \in U \end{eqnarray*}$ oder?

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