Umkehrabbildung, Bijektivität

11.06.2009, 20:53

Sabinee

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Umkehrabbildung, Bijektivität

Sei $\begin{eqnarray*} C:=\{(x,y)\in \mathbb R^2: 0<y<x\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:C\mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x,y):=(x+y,xy) \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray*} P:=\{(u,v)\in \mathbb R^2: v>0 \text{und} \ u>2\sqrt{v}\} \end{eqnarray*}$ ab.

b) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$

c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} J_{f^{-1}}(f(x,y)) \end{eqnarray*}$ direkt und mit Hilfe des Satzes von der Umkehrabbildung. Vergleichen Sie die Ergebnisse.

Also bei der a würde ich die Jacobi-Matrix bestimmen und gucken ob die Determinante ungleich 0 ist. Ist das richtig?

Danke

11.06.2009, 21:11

WebFritzi

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RE: Umkehrabbildung, Bijektivität

Zitat:

Original von Sabinee
Also bei der a würde ich die Jacobi-Matrix bestimmen und gucken ob die Determinante ungleich 0 ist. Ist das richtig?

Nein. Du musst das direkt überprüfen. Vor allem, da du in (b) ja noch die Umkehrabbildung angeben musst.

11.06.2009, 21:30

Sabinee

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RE: Umkehrabbildung, Bijektivität
Also dann habe ich:
Für die Surjektivität:

I: $\begin{eqnarray*} x+y=u\Rightarrow x=u-y \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} xy=v\Rightarrow uy-y^2=v\Rightarrow y=\frac{u}{2}\pm \sqrt{\frac{u^2}{4}-v} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x=\frac{u}{2}\pm\sqrt{\frac{u^2}{4}-v} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck unter der Wurzel bleibt immer größer 0 wegen der Definition von P.
Nur jetzt meine Frage es gibt 2 Lösungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Kann das richtig sein?

Für die Injektivität.

$\begin{eqnarray*} x+y=x'+y' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} xy=x'y' \end{eqnarray*}$ und muss zeigen dass daraus $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=y' \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier habe ich aber keine Idee.
Ich hab 4 unbekannte aber nur 2 Gleichungen.
Was muss ich hier machen?

11.06.2009, 21:54

WebFritzi

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RE: Umkehrabbildung, Bijektivität

Zitat:

Original von Sabinee
Nur jetzt meine Frage es gibt 2 Lösungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Erstmal solltest du die Regeln der Rechtschreibung beachten. Das, was da steht, ist kein deutscher Satz.

Ja, es gibt mehrere Lösungen. Sogar vier. Aber im Definitionsbereich von f (also in C) gibt es nur eine. Welche nämlich?

11.06.2009, 21:57

Sabinee

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RE: Umkehrabbildung, Bijektivität
Ich würde sagen die richtige Lösung ist $\begin{eqnarray*} x=\frac{u}{2}+ \sqrt{\frac{u^2}{4}-v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{u}{2}- \sqrt{\frac{u^2}{4}-v} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ .

Richtig?

Wenn ja, wie gehts mit der Injektivität weiter?

11.06.2009, 22:12

WebFritzi

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OK, richtig. Super. Injektivität: Du hast also x + y = x' + y' und xy = x'y'. Multipliziere die erste mit y und setze die zweite ein. Nach Ausklammern von (y' - y) bekommst du dann eine Alternative, nämlich entweder y' = y (woraus mit der ersten Gleichung auch x' = x folgt und die Injektivität gezeigt ist) oder

x' = y.

In die erste Gleichung eingesetzt folgt daraus wiederum

x = y'.

Leite aus diesen beiden Gleichungen und aus der Tatsache, dass (x,y) und (x',y') Elemente von C sind, einen Widerspruch her.

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11.06.2009, 22:47

Sabinee

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Also ich multiplizere die erste Gleichung mit y.

Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} xy+y^2=x'y+y'y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt setze ich die 2te Gleichung in die 1te.

$\begin{eqnarray*} x'y'+y^2=x'y+y'y\Rightarrow x'y'+y^2-x'y-yy'=(y-y')(x'-y)=0 \end{eqnarray*}$

Also folgt daraus: $\begin{eqnarray*} y-y'=0 \Rightarrow y=y' \end{eqnarray*}$ und eingesetz in die erste Gleichung auch $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ .

Oder $\begin{eqnarray*} x'-y=0\Rightarrow x'=y \end{eqnarray*}$ und eingesetzt in die erste Gleichung auch $\begin{eqnarray*} x=y' \end{eqnarray*}$

Nun wissen wir es gilt: $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ dann müsste aber wegen der Gleichung auch $\begin{eqnarray*} y'>x' \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} x=y' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=x' \end{eqnarray*}$ . Das ist aber ein Widerspruch.

Ist das richtig?

11.06.2009, 23:06

WebFritzi

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Ja. Du solltest noch schreiben, wozu das ein Widerspruch ist.

11.06.2009, 23:11

Sabinee

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Ok, Dankeschön.

Jetzt wäre ich bei der b)

Wie bestimme ich hier die Umkehrabbildung?

Ich hab wieder die beiden Gleichungen: $\begin{eqnarray*} x+y=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} xy=v \end{eqnarray*}$ .
Muss ich das wie bei einer Veränderlichen machen und die Variablen umtauschen und dann nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen?

11.06.2009, 23:16

WebFritzi

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Du hast die Umkehrabildung bei der Sujjektivität schon errechnet, denn du hast ja zu u und v die passenden x und y gefunden.

11.06.2009, 23:20

Sabinee

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Hey, das stimmt fällt mir jetzt erst auf Big Laugh

Big Laugh

Nun muss ich die Jacobi-Matrix der Inversen direkt bestimmen und einmal mithilfe des Umkehrsatzes.

Direkt würde ich sagen, ich leite die Umkehrabbildung ab und mit Hilfe des Umkehrsatzes würde ich sagen, nehme ich die Jacobimatrix der Ausgangsfunktion und invertiere Sie.

Ist das richtig?

11.06.2009, 23:26

WebFritzi

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Ja. Du musst dabei noch auspassen, dass du in die invertierte Matrix $\begin{eqnarray*} f^{-1}(u,v) \end{eqnarray*}$ einsetzt anstatt (u,v).

11.06.2009, 23:54

Sabinee

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Ich kriege für beide Wege folgende Matrix raus:

$\begin{eqnarray*} J_{f^{-1}}(u,v)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}+\frac{u}{4\sqrt{\frac{u^2}{4}-v}} & -\frac{1}{2\sqrt{\frac{u^2}{4}-v}} \\ \frac{1}{2}+\frac{u}{4\sqrt{\frac{u^2}{4}-v}} & \frac{1}{2\sqrt{\frac{u^2}{4}-v}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist richtig?

11.06.2009, 23:56

WebFritzi

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Keine Ahnung, ob das richtig ist. Ich rechne es bestimmt nicht für dich nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wenn du auf beiden Wegen dazu kommst, wird es wohl richtig sein. smile

smile

11.06.2009, 23:58

Sabinee

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Einfach super, wie du mich immer wieder auf die richtige Bahn gelenkt hast.
Hoffe ich habe dir nicht soviele Umstände gemacht.

Danke dir vielmals.

12.06.2009, 00:06

WebFritzi

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Ich kann halt ganz gut mit Fragenden umgehen, die auch was im Kopf haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ganz unabhängig von der Frage, ob ich selber was im Kopf habe. Big Laugh

Big Laugh

Aber ein bisschen scheint es ja schon zu sein, wenn ich dir helfen konnte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel Spaß noch mit der Mathematik! Tanzen

Tanzen

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