A-Stabile Verfahren |
11.06.2009, 21:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A-Stabile Verfahren
So, was ist also zu tun? Der Hinweis auf dem Zettel sagt, man solle das Verfahren auf folgendes anwenden: und die Iterierten wie folgt darstellen Stabilitätsgebiet ist dann Damit A-stabil muss gelten -------------------------------------------------------------------------------- Was mich nun wundert, bei wiki ist ein Startwert angegeben. Auf meinem Blatt nicht. Ich versuche es nun mal mit dem Wert. wie sieht denn nun R aus... ? Und wie sieht es mit dem A-Stabil aus? h ist eine positive reelle Schrittweite. Also muss ich untersuchen: Wie soll das denn auf C gehen? |
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11.06.2009, 22:06 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf A-Stabilität prüfen heisst, dass man das gegebene Verfahren auf die Testgleichung mit anwendet. Du sollst also den expliziten Euler überprüfen: Also: Nun setzt man und man bekommt Das bedeutet es ist ein Kreis in mit Radius 1 um -1, also insbesondere kann niemals gelten und das Verfahren kann nicht A-Stabil sein. Die Idee der A-Stablität ist wie folgt: Man hat die Testgleichung [die folgt mit einigen Annahmen daraus, dass man eine allgemeine Funktion durch eine Jacobimatrix approximiert...] mit . Man sieht schnell, dass die Gleichung die exakte Lösung hat. Weiter beobachtet man, dass der Realteil von darüber entscheidet, ob die Lösung beschränkt bleibt oder nicht, das heisst mit : Der hintere Faktor ist für egal ["dreht nur im Kreis" ] aber der vordere entscheidet ob alles explodiert oder nicht. Nun will man, dass die numerische Lösung auch beschränkt bleibt, wenn es die exakte tut, das heisst für muss die numerische Lösung beschränkt sein, oder anders ausgedrückt: für . Nun hast du an diesem Beispiel gesehen, dass die numerische Lösung beschränkt bleibt genau dann, wenn . Deshalb definiert man das Stabilitätsgebiet als und fordert für die A-Stabilität, dass gelten muss, also die numerische Lösung beschränkt bleiben soll wenn es die exakte auch tut. Ein Satz sagt nun, dass für ein explizites Runge-Kutta-Verfahren [wie zb. explizit Euler] ist das Stabilitätsgebiet immer beschränkt, kann also insbesondere niemals A-Stabil sein. Wenn du willst kannst du es einmal mit implizites Euler Verfahren versuchen und du wirst sehen, dass es A-Stabil ist. |
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11.06.2009, 22:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir für deine Antwort. Nun meine Rückfragen
Wieso nur und nicht . wo habe ich bei mir falsch gerechnet? Mit dem R sind wir ja dennoch gleich. Ok, noch eine Substitution. Ich sehe nun auch, dass ich den "|" von "mit der Eigenschaft mit den "|" Betragsstrich gelesen hatte. Dann klart sich ja auch, wie man bestimmen kann. Ich habe noch 2 andere Verfahren, die ich testen muss. Da verzichte ich vorab mal auf impliziten Euler. |
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11.06.2009, 22:26 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann gut sein dass auch k+1 in den Exponenten muss, bin da immer viel zu faul mir das zu überlegen.... Um die Stabilitätsfunktion zu finden ist der Exponent aber egal, man braucht da nur die Basis zu kennen. Na dann musst du die anderen Verfahren testen Wie gesagt, sind die explizit, dann sind die alle nicht A-Stabil. Beachte noch, dass für lineare Mehrschrittverfahren das Stabilitätsgebiet anders definiert ist, falls eines deiner Verfahren ein LMV ist. |
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12.06.2009, 00:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
implizite Mittelpunktsregel So here we go. So.. nun müßte ich umstellen? Nun ergibt sich... Damit also Davon nun den Betrag bestimmen. |
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12.06.2009, 10:02 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: implizite Mittelpunktsregel
Genau, das ist die Herleitung von , das vordere brauchst du nicht. So, nun bestimme das Gebiet und überprüfe ob . |
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12.06.2009, 11:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: implizite Mittelpunktsregel Ok. Das erste sind immer so Aufwärmübungen. Daher "unnötige Wiederholungen". Frage: Gibt es einen Trick oder "muss" ich komplex dividieren und den Betrag ausrechnen? Da warte ich nun erstmal auf deine Antwort Weiter zur letzten Aufgabe. Verfahren von Heun (3ter Ordnung) So... nun wieder mit der Testgleichung.... Damit ist dann Auch hier schließe ich (sollte R denn richtig sein) die Frage nach einer geschickten Betragsberechnung an. |
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12.06.2009, 13:59 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst es von Hand bestimmen oder vorher noch ein Lemma beweisen:
[Für den Beweis nutze das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen, das heisst dass nur auf dem Rand sein Maxmimum annimmt und bemerke, dass ] |
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12.06.2009, 14:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann werde ich es wohl von Hand bestimmen müssen. |
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12.06.2009, 14:07 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für Heun 3. Ordnung habe ich die gleiche Stabilitätsfunktion . |
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12.06.2009, 14:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super! Die i- Mittelpunkt-R müßte A-stabil sein (ja, nur ergoogelt.... ). Kannst du mir das Gebiet für Heun nennen? Um ein Ausrechnen komme ich ja nicht herum, aber zum Vergleich wäre es toll. |
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12.06.2009, 14:15 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man nur zeigen will dass etwas nicht A-Stabil ist, dann reicht es zu zeigen dass für ein eben . Dazu kann man zum Beispiel auch für einmal betrachten. Das sollte für das Polynom helfen. |
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12.06.2009, 14:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima. Da in der Aufgabe nur steht "entscheiden sie ob A-stabil", könnte man sich dieser Erleichterung bedienen. |
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14.06.2009, 17:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Herrgott ist das peinlich wie ich mit diesen komplexen Zahlen kämpfe. Wenn ich das Lemma nehmen wollte, dann wohl (ii), oder? Die Polstelle (Nullstelle des Nenners) ist bei . Also ist es A-stabil? Aber mit dem von Hand rechnen bekomme ich es einfach nicht hin. Kann mir da mal jemand unter die Arme greifen? |
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14.06.2009, 19:39 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, nein ! Das Lemma sagt dass es A-Stabil ist genau dann, wenn (i) und (ii) gelten ! (ii) hast du bereits richtig gesagt, der Pol von ist bei . Nun musst du noch (i) zeigen und den Rest erledigt das Lemma. Von Hand: Es muss also und das ist äquivalent zu mit . |
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14.06.2009, 20:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aso. Das Lemma will aber auch viel.... (i) heißt also, wenn ich was rein imaginäres einsetzte, dann muss der Betrag von R an diesen Stellen kleiner gleich 1 sein. Es muss also gelten: Das sollte eine wahre Aussage sein. Richtig so? |
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14.06.2009, 20:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Och (auf mich selbst)... und ich löse hier wie doof diese nervige komplexe Division....Strafarbeit muss sein... also: Und das stimmt genau für die nichtpositiven x. |
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14.06.2009, 22:39 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na sei froh dass es nicht noch eine Bedingung (iii) gibt... Schau mal hier: Sei . und das ist von der Form . Was gilt aber für den Betrag einer komplexen Zahl und deren komplex konjugiertes? [By the way: wie macht man in LaTeX einen schönen Balken für ein komplex Konjugiertes? ] |
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14.06.2009, 22:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versinke ja schon in Demut. Jo, die Beträge sind gleich. Immerhin bin ich da ja auch rausgekommen. Also wenn man mit mir fährt, besser vorher voll tanken. Latex? Wie eigentlich immer. Nur so "lange" dieser Befehl \overline Ob es noch was gibt weiß bestimmt der Stefan K. . |
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19.08.2012, 11:28 | Manolo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich möchte das Thema nochmal aufgreifen, obwohl mir durch die Diskussion hier schon einiges klarer geworden ist. Mein Problem am Beispiel Verbessertes Euler-Verfahren: Als Stabilitätsfunktion finde ich: Ich muss doch nicht auseinanderrechnen und den Realteil untersuchen, oder? Aber wie überprüfe ich nun, ob ? Was muss ich mit nun anstellen? |
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