Bestimmmtes Integral (Substitution)

11.06.2009, 22:53

FabiB

So, eine weitere Aufgabe konnte ich nun schon alleine Lösen.
Aber nun bin ich wieder bei einer, die ich nicht schaffe.

Könnt ihr mir bitte helfen?

$\begin{eqnarray*} \int_{3/4}^{4/3}~\frac{1}{z\sqrt{z^2+1}}~dz \end{eqnarray*}$ soll mithilfe der Substitution: z= 1/t gelöst werden.

also ich habe als Substitution dz = - 1/t^2 dt raus, soweit richtig?

dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-t\sqrt{\frac {1}{t^2}+1}* t^2} dt \end{eqnarray*}$

falls das richtig ist wie kann ich jetzt weiter machen?

12.06.2009, 00:27

mYthos

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Bitte beachten: Neue Aufgabe/Frage -> neues Thema!
Ansonsten begibst du dich einer schnelleren Beantwortung, weil jeder zu sehen vermeint, dass es in diesem Thread ohnehin schon viele Antworten gibt. Ausserdem wird die Sache dann schnell unübersichtlich.

*** abgetrennt ***
______________________

Nicht richtig, denn du hast für z falsch eingesetzt. Wenn du es richtig machst, ist durch $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ zu kürzen und ...

EDIT: .. das mit der Wurzelfunktion war so nicht richtig, sorry.

mY+

13.06.2009, 18:18

FabiB

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irgendwie komme ich nicht von meiner (falschen) Lösung ab.

also:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dt= -1z^{-2}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = - \frac{1}{t^2} dt \end{eqnarray*}$

und eingesetzt komme ich dann auf meine Lösung von oben...

was mache ich denn falsch?

13.06.2009, 18:40

Q-fLaDeN

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Hallo,

ganz einfach die Substitution durchführen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{z\sqrt{z^2+1}}~dz \end{eqnarray*}$

Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac 1 t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dz = -\frac{dt}{t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int~\frac{1}{\frac 1 t \sqrt{\frac{1}{t^2}+1}}~ \cdot (-\frac{dt}{t^2}) = \int~\frac{-1}{t\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}}~\dd t = -\int~\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}~\dd t \end{eqnarray*}$

Bei deinen dx, dz usw. passt auch was nicht Augenzwinkern

13.06.2009, 18:56

FabiB

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hmm naja, bis auf das ich auf einmal buchstaben vertauscht habe, ist das doch mein erstes ergebnis, das doch laut mythos falsch ist.

Aber wie geht das jetzt weiter, ich habe das gefühl bei den ganzen umformungen immer nicht voran zu kommen.
Jetzt muss ich das doch immernoch integrieren

13.06.2009, 19:00

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von FabiB
hmm naja, bis auf das ich auf einmal buchstaben vertauscht habe, ist das doch mein erstes ergebnis, das doch laut mythos falsch ist.

Aber wie geht das jetzt weiter, ich habe das gefühl bei den ganzen umformungen immer nicht voran zu kommen.
Jetzt muss ich das doch immernoch integrieren

Nein das stimmt nicht.

Das hast du raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-t\sqrt{\frac {1}{t^2}+1}* t^2}~\dd t = \frac{-1}{t^3\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}}~\dd t \end{eqnarray*}$

Und das ist nicht das gleiche Augenzwinkern

13.06.2009, 19:04

FabiB

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ja das war mein fehler, sorry.
habe immer anstatt das zu sehen was da bei mir steht, das gelesen was ich meinte :-)

aber wie es jetzt weitergeht...keine ahnung

13.06.2009, 20:33

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \cdots = -\int~\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}~\dd t \end{eqnarray*}$

Das ist ein Grundintegral: Stichwort "Areafunktionen"

13.06.2009, 20:55

FabiB

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oh man danke...
aber woher ich das wissen soll? keine ahnung :P

gibts irgendwo eine gute übersicht über solche Grundintegrale?

kann man es auch anders ausrechen?

13.06.2009, 21:02

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Naja, falls dir die Areafunktionen nicht gefallen, kannst du auch

$\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{2} \left( u-\frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$

substituieren. Aber ob das unbedingt leichter zu sehen ist? Augenzwinkern

14.06.2009, 10:45

klarsoweit

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Diese Substitution hätte man auch gleich am Anfang nehmen können. Augenzwinkern

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