E(x)=n*p, warum?

18.09.2006, 11:40	marjan	Auf diesen Beitrag antworten »
*E(x)=np, warum?** Hey! Hatten das in der Schule gemacht. Erstmal in ne Tabelle für verschiedene k Werte die Wahrsch ausgerechnet udn dann den Erwartungswert per Hand ausgerechnet. Dann kam ein Wert raus, der fast der Wert np war und er meinte, dies sei nicht verwunderlich und beschrieb das allgemeinals np, aber warum ist das so klar? marjan
18.09.2006, 12:14	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -fache Ausführung eines Bernoulli-Experimentes führt zur sog. Binomialverteilung. Bei einem Bernoulli-Experiment ( $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ) ergibt sich bekanntermaßen für den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X)=p \end{eqnarray}$ . Für die Binomialverteilung ergibt sich der Erwartungswert dann wie folgt: $\begin{eqnarray} E(X)=\sum_{x\in D(X)} x f_X(x)=\sum_{x\in D(X)} x \cdot {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}=np \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} D(X) \end{eqnarray}$ der sog. Träger der Verteilung ist. Für den genauen rechnerischen Beweis verweise ich mal auf http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialver...omialverteilung . Dort steht alles nochmal "schwarz auf weiß". gruß swerbe
18.09.2006, 12:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
*Erwartungswert E(X)=np bei Binomialverteilung B(n,p), warum?** Auch wenn Swerbe etwas schneller war, poste ich doch mal noch meinen inzwischen vorbereiteten Beitrag. @marjan Ich liebe solche Fragen - vor allem, wenn man überhaupt nicht sagt, um welche Situation es geht. Es gibt mehr in der Stochastik als das Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung, um die es in deiner Frage höchstwahrscheinlich geht!!! Man kann sich auf den Standpunkt stellen: Es ergibt sich eben bei Anwendung der Erwartungswertformel für diskrete Zufallsgrößen auf $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E(X) = \sum\limits_{k=0}^n ~ k\cdot P(X=k) = \sum\limits_{k=0}^n ~ k\cdot \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ und dann vereinfachen. Eine andere, mehr am Inhalt des Bernoulli-Experiments orientierte Begründung: Jedes Einzelexperiment führt mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zum Erfolg, d.h. im Mittel (über mehrere Wiederholungen) hat man bei einem Experiment $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Erfolge, bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Wiederholungen also im Mittel $\begin{eqnarray} np \end{eqnarray}$ Erfolge. Und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ beschreibt ja gerade die Anzahl der Erfolge bei n Wiederholungen dieses Einzelexperiments, also ist $\begin{eqnarray} E(X)=np \end{eqnarray}$ auch von dieser eher inhaltlichen Warte plausibel.

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