Lineare Gleichungen - Unterraum

12.06.2009, 11:59

Felix

Lineare Gleichungen - Unterraum

$\begin{eqnarray*} W := \{ x \in \mathbb R^n : \phi_1(x) = ... = \phi_m(x) = 0 \} \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sollen hierbei lineare Gleichungen sein.

Zeigen sie, dass W durch eine einzige (nicht notwendig lineare) Gleichung beschrieben werden kann. Genauer gilt: Es existiert ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb R [t_1,...,t_n] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} W = \{(x_1,...,x_n) \in \mathbb R^n : f(x_1, ... ,x_n) = 0 \} \end{eqnarray*}$

Nun zu meinen Fragen:

a) Was ist eine lineare Gleichung (in dem Zusammenhang) ?

Was ich glaube:

Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die durch Multiplikation von x mit einem "Zeilenvektor" (a_1, ... , a_n) beschrieben werden kann.

b) Bilde ich mit diesen Zeilenvektoren eine Matrix A, so ist $\begin{eqnarray*} W = \{(x_1,...,x_n) \in \mathbb R^n : Ax = 0 \} \end{eqnarray*}$

Irgendwie habe ich aber das Gefühl, dass ich die Aufgabe nicht in vorgesehener Weise bearbeitet habe unglücklich

12.06.2009, 12:30

tigerbine

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RE: Lineare Gleichungen - Unterraum

Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} W := \{ x \in \mathbb R^n : \phi_1(x) = ... = \phi_m(x) = 0 \} \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sollen hierbei lineare Gleichungen sein.

Wenn ich mir die Menge W anschaue, die Koeffizienten der linearen Gleichungen in eine Zeile packe, ist W imho der Kern einer linearen Abbildung. Also die Lösung von Ax=0, bei passend gewählten A.

Da nach scheint hier aber nicht gefragt zu sein. Denn man soll ein Polynom angeben, bei dem x eine Nullstelle ist, und das die lin. Gleichungen widerspiegelt.

Hatten ihr schon Dualräume?

12.06.2009, 12:33

Felix

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Zitat:

Wenn ich mir die Menge W anschaue, die Koeffizienten der linearen Gleichungen in eine Zeile packe, ist W imho der Kern einer linearen Abbildung. Also die Lösung von Ax=0, bei passend gewählten A.

Ja auf diese Lösung bin ich ja auch gekommen Augenzwinkern

Zitat:

Hatten ihr schon Dualräume?

Dualräume sind das letzte Kapitel in meinem Buch ...

lg

12.06.2009, 12:36

tigerbine

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Sollte ja nur eine Bestätigung für deinen Gedanken sein.

Letztes Kapitel, also ja oder nein (schon bekannt)? Augenzwinkern

12.06.2009, 12:37

Felix

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Nein noch nicht bekannt Big Laugh

12.06.2009, 12:39

tigerbine

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Ok. Dann bin ich leider mit meinen Ideen erstmal am Ende. Vielleicht kann jemand anderes helfen. Sorry. Augenzwinkern

12.06.2009, 12:52

Felix

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Ok, ich glaube eine Lösung gefunden zu haben:

Sei $\begin{eqnarray*} \phi_j = a_{j1}x_1 + ... a_{jn}x_n \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre, dann erfült dieses Polynom die Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} f(x_1, ..., x_n) = \sum_{j=1}^m~ (a_{j1}x_1 + ... + a_{jn}x_n)^2 \end{eqnarray*}$

Edit:

Danke für deine Mühe tigerbine smile

12.06.2009, 13:00

WebFritzi

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Deine Lösung ist eine richtige Möglichkeit.

12.06.2009, 13:02

Felix

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Lass mich raten. Alle

$\begin{eqnarray*} f_k(x_1, ..., x_n) = \sum_{j=1}^m~ (a_{j1}x_1 + ... + a_{jn}x_n)^{2k} \end{eqnarray*}$

erfüllen die Bedingung Big Laugh

Edit:

Und noch viele andere mehr Augenzwinkern

12.06.2009, 13:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Und noch viele andere mehr Augenzwinkern

Ja. Man kann ja noch lustige Koeffizienten wie pi oder 5 vor die Summanden setzen.

12.06.2009, 13:29

Felix

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Oder man verwendet unterschiedliche gerade Exponenten.

Eigentlich unglaublich, dass ich bei so vielen unendlich-vielen Lösungen solange brauche eine zu erwischen Big Laugh

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