Kern einer Abbildung

12.06.2009, 22:25

Epsilon82

Kern einer Abbildung

Hallo liebe Leute,

ich habe ein Problem mit dem Kern einer Abbildung. Die Definition verstehe ich und auch die Dimensionsformel für Vektorräume.
Nun frage ich mich, wie ist der Zusammenhang vom Kern eine Abbildung zum Quotientenraum, insbesondere weshalb sind Normalteiler der Kern einer Abbildung, wenn diese Abbildung von einer Gruppe G zu einer Faktorgruppe G/N geht.

Sei N aus G Normalteiler mit g*N*g^(-1) aus N für alle g aus G.
f:G-->G/N. Dann ist N aus dem Kern(f), aber warum? Das hieße doch, dass die Elemente n aus N auf 0 abgebildet würden, oder? Also f(n)=0.

Aber für die Abbildung der Quotientengruppe gilt dich als Abbildungsvorschrift:
g -->g+N :={g+n: n aus N und g aus G}. Dann wäre also f(g)=g+N und da N auf 0 geht, folgte f(g)=g+0.
Das macht für mich aber keinen Sinn.

Habe vielleicht auch eine vollkommen wirre Vorstellung. verwirrt

Kann mir dazu jemand etwas sagen???
Grüße und Dank
Epsilon82

13.06.2009, 18:01

system-agent

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Ich würde sagen da gibts einigen Klärungsbedarf:
Zum einen musst du mal sagen was deine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein soll. Ich nehme mal an dass es ein Gruppenhomomorphismus ist.
Dann ist die Aussage aber falsch, denn es ist sicher nicht irgendein Normalteiler im Kern eines gegebenen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Nehme zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb Z\to\mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ ist die Klasse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Dann ist sicher $\begin{eqnarray*} 4\mathbb Z\subset\ker(f) \end{eqnarray*}$ [es gilt sogar Gleichheit]
aber $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z\not\subset\ker(f) \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} 3\mapsto[3]\neq[4] \end{eqnarray*}$ .

Es gilt aber etwas anderes:
Jeder Normalteiler ist Kern eines Homomorphismus.
Das kann man leicht einsehen indem man die kanonische Projektion nimmt:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} N\subset G \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler. Setze $\begin{eqnarray*} \pi:G\to G/N \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto[x] \end{eqnarray*}$ . Dann sieht man sofort, dass $\begin{eqnarray*} \ker(\pi)=N \end{eqnarray*}$ .

14.06.2009, 14:24

Epsilon82

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Hallo,

ja, f soll ein Gruppenhomomorphismus sein.
Das erste Beispiel habe ich verstanden, aber noch nicht ganz die Erklärung mit der kanonischen Abbildung.

Ich verstehe zwar den Spezialfall von Z/nZ für n aus N, aber nicht weshalb JEDER Normalteiler Kern eines Homomorphismus sein muss.

Gestern habe ich es mir über den Isomorphiesatz erklärt, aber dann gelte dies nur, wenn f:G-->G' isomorph ist.
Du sagst jedoch, dass dies für "beliebige" Homomorphismen gilt, nicht?

Also frage ich mich: Wenn ich eine Abbildung f: G-->H mit G, H Gruppen, dann kann ich die Abbildung g:G/N-->H mit N Normalteiler von G angeben. Nun soll N aus dem Kern von g sein. Soweit die Behauptung, ne?
1. Ist dann die Abbildung g surjektiv, wenn N aus dem Kern ist? Oder welche Eigenschaften hat dann g?
2. Wenn ich einen Ring R mit dem Faktorring R/(x^2 - 1) habe, dann ist (x^2-1) aus dem Kern von h für h:R/(x^2-1)-->R, wenn ich x-->+-1 abbilde, da dann ((+-1)^2-1)=0 wird, oder?
Dann ist aber diese Abbildung surjektiv und h':R-->R bijektiv. Oder?

Grüße und Dank
Epsilon82

14.06.2009, 15:55

system-agent

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Zitat:

Original von Epsilon82
Gestern habe ich es mir über den Isomorphiesatz erklärt, aber dann gelte dies nur, wenn f:G-->G' isomorph ist.
Du sagst jedoch, dass dies für "beliebige" Homomorphismen gilt, nicht?

Was willst du denn mit dem Isomorphiesatz anfangen?
Und nein, das habe ich nicht gesagt.

Nochmals meine erste Aussage:
Annahme wir haben zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ gegeben sowie ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f:G\to G' \end{eqnarray*}$ . Dann war meine erste Aussage, dass es nicht wahr ist, dass jeder Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ im Kern der [gegebenen] Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt. Der Beweis steht oben [Beweis durch Gegenbeispiel].

Meine zweite Aussage:
Nehmen wir an wir haben eine beliebige Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und einen beliebigen Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der gegebenen Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Kern eines [passend gewählten] Homomorphismus.
Als Beweis dieser Aussage muss man nur zu dem beliebig gewählten Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ einen passenden Homomorphismus
$\begin{eqnarray*} f:G\to\text{irgendeine andere Gruppe} \end{eqnarray*}$
bauen so, dass $\begin{eqnarray*} \ker(f)=N \end{eqnarray*}$ .
Der passende Homomorphismus steht oben [die kanonische Projektion] und man muss dann nur noch überprüfen, dass wirklich $\begin{eqnarray*} N=\ker(f) \end{eqnarray*}$ gilt.

Das was du weiter gefragt hast verstehe ich nicht.
Bitte versuch mal ganz konkret und vor allen Dingen ganz klar zu sagen was deine weitere Frage ist.

15.06.2009, 16:19

Epsilon82

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Hallo,

dann ist gut. Ich hatte nämlich geglaubt zu verstehen, dass du meintest es würde für jeden Gruppenhomomorphismus gelten, dass ein Normalteiler N aus G immer der kern des Gruppenhomorphismus f: G --> G' wäre.
Und das hatte ich nicht nachvollziehen können. Aber nun habe ich ja begriffen, dass dies für einen "GUT gewählten Homomorphismus" gilt.
Diesen kann ich dann so angeben, dass N=kern des Gruppenhomorphismus ist.
Hier müsste ich dann auch Wohldefiniertheit zeigen, oder?

So kann ich mit der Aussage viel mehr anfangen.

Was den Isomorphiesatz angeht:
Mit dem Isomorphiesatz wollte ich eine Isomorphismus konstruieren, indem Kern der Abbildung gleich dem Normalteiler des Gruppenhomorphismus ist.
Das Beispiel hat sich also erledigt.

Was die letzten Fragen anging. Auch dies sollten nur Beispiele für den Isomorphiesatz sein (konkrete).

Jetzt haben sich meine Fragen wohl geklärt.

Besten Dank
Epsilon

15.06.2009, 17:08

system-agent

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Zitat:

Original von Epsilon82
Aber nun habe ich ja begriffen, dass dies für einen "GUT gewählten Homomorphismus" gilt.
Diesen kann ich dann so angeben, dass N=kern des Gruppenhomorphismus ist.
Hier müsste ich dann auch Wohldefiniertheit zeigen, oder?

Wohldefiniertheit? Nein. In dem von mir vorgeschlagenen Beweisweg musst du zeigen, dass die Mengengleichheit $\begin{eqnarray*} N=\ker(f) \end{eqnarray*}$ gilt, also du musst $\begin{eqnarray*} N\subset\ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ker(f)\subset N \end{eqnarray*}$ zeigen.

17.06.2009, 13:35

Epsilon82

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Okay, mir ist klar, dass ich N aus ker(phi) und ker(phi) aus N zeigen muss, damit
N=ker(phi) ist.

Aber für den angegeben Homomorphismus muss ich doch die Wohldefiniertheit zeigen, oder?

Gruß

17.06.2009, 13:57

system-agent

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Nein, muss man nicht.

Anders gefragt:
Was willst du denn genau zeigen?

17.06.2009, 18:21

Epsilon82

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Hallo,

mir geht es darum, dass ich wissen möchte, wann ich Wohldefiniertheit zeigen muss.
Vor ein paar Tagen hatte ich es so verstanden, dass ich bei definierten Abbildungen die Wohldefiniertheit zeigen muss, ebenso, wenn es mehrere Ergebnisse geben könnte.

Also jedesmal dann, wenn ich etwas definiert habe, dass auch zu einem anderen Ergebnis hätte führen können.

Zum Beispiel bei maximal auflösbaren Normalteilern, Bijektionen oder bei Gleichungen, bei denen das größte, das kleinste Ergebnis herauskommt.

Das ist nämlich oft genug genau das, was mir bei meinen Beweisen stets fehlt, weil ich nicht weiß, wann ich diese auch zeigen muss.

Gruß
Epsilon82

17.06.2009, 18:38

system-agent

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Diese Frage kann ich dir wohl nicht allgemeingültig beantworten, aber ein Anhaltspunkt ist:
Angenommen du definierst etwas indem du sagst:
Wähle dies und jenes und mache dann etwas damit.

Dann musst du auf jeden Fall überprüfen, dass es Unabhängig von der Wahl ist !

Beispiele:

(1)
Nimm den Homomorphiesatz. Dieser besagt, hast du einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} f:G\to G' \end{eqnarray*}$ und einen Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G\subset\ker(f) \end{eqnarray*}$ .
Dann sagt der Satz dass
$\begin{eqnarray*} \phi:G/N\to G' \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} [x]\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.

In Worten heisst das, dass man $\begin{eqnarray*} \phi([x]) \end{eqnarray*}$ ausrechnet, indem man ein Element aus der Klasse $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ wählt.
Hier ist zu zeigen, dass man bei jeder Wahl von einem Element aus $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ immer den gleichen Wert erhält !

(2)
Die Dimension eines Vektorraumes ist definiert als die maximale Anzahl Vektoren einer Basis. Das bedeutet, man muss zuerst eine Basis wählen und dann zählen wie viele Vektoren die Basis hat.
Wieso bekommt man die gleiche Zahl wenn man eine andere Basis wählt?
Das ist zu zeigen !

(3)
Das Riemann'sche Integral ist über die Riemannschen Summen definiert und diese setzen eine Wahl einer Zerlegung von einem gewissen Intervall voraus.
Wieso hängt dann das Ergebnis [also das Integral] nicht von der Zerlegung ab?
Das ist zu zeigen !

usw usw.

In dem Beispiel oben gibt es aber keine Wahl mehr ! Die kanonische Projektion ist keine Abbildung die man auswertet indem man erst etwas auswählen muss.
Natürlich muss man $\begin{eqnarray*} N=\ker(f) \end{eqnarray*}$ zeigen wie oben definiert, aber nicht weil ansonsten die kanonische Projektion nicht korrekt definiert wäre, sondern weil man zeigen will, dass die Projektion die "gute" Abbildung ist die die gewünschte Eigenschaft hat.

18.06.2009, 11:39

Epsilon82

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Hallo,

alles klar.
Die Beispiele habe ich verstanden und daher auch eine Ahnung davon, was Wohldefiniertheit heißt und wann ich sie zeigen muss.

Ich würde es mir als Merkregel so aufschreiben:
1. Wenn das Ergebnis eindeutig sein soll oder
2. Wenn das Ergebnis so bleibt unabhängig der Wahl von bestimmten veränderlichen Voraussetzungen. Ich weiß, dass hört sich etwas schwammig an, weil es ja nicht für alle veränderlichen Voraussetzungen gilt, aber ich denke hier an die Basen (also den Austauschsatz) und die Zerlegung des Integrals.

Vielen Dank

18.06.2009, 11:58

system-agent

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Zitat:

Original von Epsilon82
Ich würde es mir als Merkregel so aufschreiben:
1. Wenn das Ergebnis eindeutig sein soll oder

Das fällt schon unter Punkt (2), denn wenn du eine Funktion definierst, dann muss sie insbesondere für jedes mögliche Urbild festgelegt sein. Hat man beim Urbild keine Wahlmöglichkeit [zb weil es eine reelle Zahl ist anstatt eine Äquivalenzklasse oder so etwas], dann ergibt sich automatisch der gleiche Wert, also eine Eindeutigkeit [denn es soll schliesslich eine Funktion sein].

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