Darstellende Matrix

14.06.2009, 01:02

ha-ti

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Darstellende Matrix

hallo ich brauche eure hilfe

gegeben:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 2} [x] \to \mathbb R _{\leq 2} [x] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p (x) \to xp' (x) \end{eqnarray*}$

Ich soll die darstellende Matrix von D in der Basis berechnen

B $\begin{eqnarray*} =\left\{ 4+5x+5x^{2} ,-3x+4x^{2},-2x^{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich die Bilder der Basisvektoren berechnet:

$\begin{eqnarray*} L _{1} ( 4+5x+5x^{2})= 5x + 10x^{2} , L_{2} (-3x+4x^{2})= -3x + 8 x^{2} , L_{3} (-2x^{2}) = -4x^{2} \end{eqnarray*}$

Ich müsste als Nächstes die Koordinatenvektoren von L _{1}, L_{2}, L_{3} in die Basis bringen.
Wie mache ich das?

Danke. Wink

Wink

14.06.2009, 01:33

tigerbine

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RE: Darstellende Matrix
Wäre schon toll, wenn du mal hingeschrieben hättest, was D ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich nehme an

$\begin{eqnarray*} D:~p (x) \to xp' (x) \end{eqnarray*}$

nun wähle ich mir eine Basis, die Monombasis. (Das macht auch Sinn, da B bzgl. dieses Basis angeben ist)

$\begin{eqnarray*} M:=\{1,x,x²\} \end{eqnarray*}$

Dann betrachte ich die Bilder der Basisvektoren:

$\begin{eqnarray*} D:~1 \to 0,~x \to x,~x^2 \to 2x^2 \end{eqnarray*}$

Dann sieht die Matrix wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} D_M^M = \begin{pmatrix} 0 & 0& 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0& 0& 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollte man D aber bzgl. B schreiben. Also muss eben ein Basiswechsel her.

code:

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Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [4,5,5]
Vektor 2: [0,-3,4]
Vektor 3: [0,0,-2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [4,5,5]
Vektor 2: [0,-3,4]
Vektor 3: [0,0,-2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [0,0,0;0,1,0;0,0,2]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     4     0     0
     5    -3     0
     5     4    -2
M1 =
     0     0     0
     0     1     0
     0     0     2
TI =
    0.2500         0         0
    0.4167   -0.3333         0
    1.4583   -0.6667   -0.5000
M2 =
         0         0         0
   -1.6667    1.0000         0
   -8.3333   -2.0000    2.0000

Das kannst du ja mal gegenrechnen.

14.06.2009, 02:06

ha-ti

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RE: Darstellende Matrix
Als Lösung für D bezüglich B bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

14.06.2009, 02:08

tigerbine

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RE: Darstellende Matrix
Mein M2(das ist die gesuchte Matrix) sieht anders aus.

14.06.2009, 02:24

ha-ti

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RE: Darstellende Matrix
Wie kommst du eigentlich auf TI und dann auf M2.
Wäre nett, wenn du mir das genauer erläutern würdest.

14.06.2009, 02:26

tigerbine

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RE: Darstellende Matrix
[Artikel] Basiswechsel

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14.06.2009, 11:03

Cordovan

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Du kannst auch deine ursprüngliche Idee verfolgen und ein LGS aufstellen, indem du die Bildvektoren als Linearkombination der Basis darstellst. Multipliziere aus und mache einen Koeffizientenvergleich, dann hast du ein LGS mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen.

Cordovan

14.06.2009, 20:12

ha-ti

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Ich habe folgendermaßen das lineare Gleichungssystem aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} 5x+ 10x^{2}= 4 +5x +5x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x+ 8x^{2}= -3x+ 4x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4x^{2}= -2x^{2} \end{eqnarray*}$

Meinst du so Cordovan.

14.06.2009, 20:47

Cordovan

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Da fehlen noch die Unbekannten.

Du stellst doch den Bildvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der drei Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_1, b_2, b_3 \end{eqnarray*}$ dar. Also
$\begin{eqnarray*} v_1=\lambda\cdot b_1+\mu\cdot b_2+\nu\cdot b_3 \end{eqnarray*}$ .

Ebenso mit den beiden anderen Bildvektoren. Dann bestimme $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu, \nu \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

14.06.2009, 21:27

ha-ti

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Ich hoffe das stimmt:

$\begin{eqnarray*} 5x+ 10x^{2}= \lambda_{1}4 +\lambda_{2}5x +\lambda_{3}5x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x+ 8x^{2}= -\lambda _{2}3x+ \lambda _{3}4x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4x^{2}= -\lambda _{3}2x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1}= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{2}= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{3}= 2 \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 00:14

Cordovan

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Wo hast du denn die Lambdas hingesetzt? Jedenfalls nicht vor die Basisvektoren, wie ich oben geschrieben habe. Es scheint mir so, als hättest du einfach vor jedes x^2 ein lambda_3 geschrieben und so weiter.

Verwende doch mal den Ansatz, den ich oben geschrieben habe. Was sind die Basisvektoren?

Cordovan

15.06.2009, 12:15

ha-ti

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Müsste stimmen:

$\begin{eqnarray*} \lambda0+ \mu5x+ \nu10x^{2}= 4 +5x +5x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda0-\mu3x+ \nu8x^{2}= -3x+4x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\nu4x^{2}= -2x^{2} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 12:20

ha-ti

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Dementsprechend:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \nu= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 12:31

Cordovan

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Also: $\begin{eqnarray*} (0+5x+5x^2) \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor! Der kann also auch nur ein skalares Vielfaches kriegen, und nicht drei verschiedene!

Ich meinte sowas wie

$\begin{eqnarray*} \underbrace{5x+10x^2}_{L_1(4+5x+5x^2)}=\lambda\underbrace{(4+5x+5x^2)}_{b_1}+\mu\underbrace{(-3x+4x^2)}_{b_2}+\nu\underbrace{(-2x^2)}_{b_3} \end{eqnarray*}$

für den ersten Bildvektor und ebenso für die beiden anderen Bildvektoren. Berechne jetzt mal die Koeffizienten.

Cordovan

15.06.2009, 17:57

ha-ti

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Doch jetzt ergibt sich ein weiteres Problem.
Ich weiß gar nicht, wie ich die Koeffizienten ausrechne.

Kannst du mir das anhand der ersten Gleichung zeigen.

Danke.

15.06.2009, 19:01

Cordovan

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Zitat:

Multipliziere aus und mache einen Koeffizientenvergleich, dann hast du ein LGS mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen.

Cordovan

15.06.2009, 19:43

ha-ti

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Meine Ergebnisse für die Koeffizienten

Für die erste Gleichung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda = 0 , \Rightarrow \mu = -\frac{5}{3} , \Rightarrow \nu = -\frac{25}{3} \end{eqnarray*}$

Für die zweite Gleichung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda = 0 , \Rightarrow \mu = 1 , \Rightarrow \nu = -2 \end{eqnarray*}$

Für die dritte Gleichung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda = 0 , \Rightarrow \mu = 0 , \Rightarrow \nu = 2 \end{eqnarray*}$

Was muss ich als Nächstes tun.

Danke.

15.06.2009, 20:06

Cordovan

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Jetzt bist du fast fertig. Überlege: du hast jetzt die Bilder der Basisvektoren berechnet und in der richtigen Basis dargestellt. Wie gewinnst du jetzt die Abbildungsmatrix daraus? Was steht in den Spalten der Abbildungsmatrix?

Cordovan

15.06.2009, 20:46

ha-ti

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Meine Darstellungsmatrix sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{5}{3} & -\frac{25}{3} \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt das Ergebnis.

15.06.2009, 21:32

Cordovan

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Nein, du hast die Bilder der Basisvektoren in die Zeilen geschrieben. Ganz wichtig ist aber:

Die Bilder der Basisvektoren stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix!

Cordovan

15.06.2009, 21:47

ha-ti

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So jetzt müsste es stimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -\frac{5}{3} & 1 & 0 \\ -\frac{25}{3} & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 21:52

tigerbine

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code:
1: 2: 3: 4:	M2 = 0 0 0 -1.6667 1.0000 0 -8.3333 -2.0000 2.0000

Womit du auch am Ziel wärst.

15.06.2009, 22:11

ha-ti

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Danke ihr wart sehr hilfreich. Freude

Freude

Könnt ihr mal bitte euch den Thread mit den Koordinatenabbildungen anschauen. Brauche dringend heute noch eine Antwort. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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