Differentialgleichung 1. Ordnung lösen

14.06.2009, 11:33

freddy91

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Differentialgleichung 1. Ordnung lösen

Hallo Leute,

ich hab hier ein Problem bei einer Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} (x+1)*(x-1)*y^1=y \end{eqnarray*}$

Umgeformt siehts dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{(x+1)*(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{y}~dy = \int_{b}^{a}~\frac{1}{(x+1)*(x-1)}~dx \end{eqnarray*}$ (Trennung der Variablen)

Aber das kann irgendwie nicht sein, weil das Ergebnis laut Lösung so heißen muss.

$\begin{eqnarray*} y(x)=C* \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \end{eqnarray*}$

BITTE UM HILFE

14.06.2009, 11:38

AD

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Zitat:

Original von freddy91
Aber das kann irgendwie nicht sein

Doch, das kann sein. Warum rechnest du nicht weiter, dann würdest du es sehen!

14.06.2009, 11:48

Patriot

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Das ist eine homogene DGL 1. Ordnung.
Du kannst dir die allgemeine Lösungsformel herleiten und überprüfen ob das stimmt.
Um Beispiel mit dem Ansatz: p(x) = (x+1)(x-1)
also:

p(x) y' = y
y'/y = 1/p(x) für p(x) ungleich o
d/dx ln(y) = 1/p(x) | dann integration und es als basis nehmen ergibt:
y = c* e ^-int P(x)dx

sorry, dass ich kein latex benutzt habe

14.06.2009, 14:50

freddy91

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Ja das Ergebnis ist aber keine e-Funktion sondern wie schon gesagt eine Wurzelfunktion. (erster Beitrag)

14.06.2009, 14:52

freddy91

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Zitat:

Doch, das kann sein. Warum rechnest du nicht weiter, dann würdest du es sehen!

Ich komm aber nicht drauf. Kannst es mir ja vorrechnen wenn du es kannst........MfG

14.06.2009, 15:36

AD

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Zu faul zur Partialbruchzerlegung? Also wirklich...

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{y} ~ \dd y = \int ~ \frac{1}{(x+1)(x-1)} ~ \dd x = \frac{1}{2} \int ~ \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln|y| = \frac{1}{2} \left( \ln|x-1| - \ln|x+1| \right) + C_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y| = e^{C_1} \cdot \sqrt{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} C=\pm e^{C_1} \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} y = C \cdot \sqrt{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|} \end{eqnarray*}$

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14.06.2009, 16:44

freddy91

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Ah alles klar thx

14.06.2009, 18:36

freddy91

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Sorry aber ich versteh einfach nicht, wie du auf die Wurzel kommst.............. verwirrt

verwirrt

verwirrt

Kannst mir das nochmal genauer erleutern??

14.06.2009, 18:58

AD

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Das Wörtchen "Hochschulmathematik" wird immer mehr zur Lachnummer...

Potenzgesetze!!!

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}\ln(z)} = \left( e^{\ln(z)} \right)^{\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{2}} = \sqrt{z} \end{eqnarray*}$

14.06.2009, 19:15

freddy91

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wow sind wir heut witzig...............

Wir sind hier ja eigendlich in einem Forum, indem Fragen gestellt werden, und wenn du nicht antworten willst, weil dir die Fragen zu stupide sind, dann lass es doch einfach bleiben.

Trotzdem Danke

14.06.2009, 19:20

AD

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Ich lass mir keinen Maulkorb anlegen bei der bitteren Feststellung der Beobachtung, dass bei immer mehr Studenten notwendige Grundlagen der Gymnasialmathematik nicht vorhanden oder doch zumindest tief vergraben sind.

14.06.2009, 19:37

freddy91

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Niemand hat hier etwas von einem Maulkorb gesagt. Davon abgesehen ist es nicht zwingend nötig bevor man auf die Hochschule geht, auf einem Gymnasium gewesen zu sein.

--> Ich stimme dir voll und ganz zu, dass Grundlagen fehlen. Aber um Lücken zu füllen, die leider nun mal vorhanden sind, gibt es Foren in denen man Hilfe bekommt. Und wenn einem dann von jemandem geholfen wird, der ein bisschen zu großspurig fährt, dann wünscht man sich, dass man niemals in dieses Forum geschrieben hätte.

MnfG

14.06.2009, 19:45

AD

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Zitat:

Original von freddy91
Davon abgesehen ist es nicht zwingend nötig bevor man auf die Hochschule geht, auf einem Gymnasium gewesen zu sein.

Ach diese Haarspalterei: Wenn ich von Gymnasialmathematik rede meine ich nicht zwingend, dass man die auf dem Gymnasium gehört haben muss. Dann reden wir eben von Abitur als Voraussetzung der Hochschulreife. Und falls man auf irgendeine Weise ans Abitur kommen kann, ohne je von Logarithmen- oder Potenzgesetzen gehört zu haben, dann besteht wohl eine Lücke im System.

14.06.2009, 20:00

freddy91

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Ja is klar. Also ich muss sagen: "Ich bin dir ja sowas von dankbar für deine Antworten" Freude

Freude

Entweder du bist in einem Forum, um anderen zu helfen oder um andere für dumm oder faul zu erklären.

Mein Tipp entscheide dich für eins davon.

Ich denk mir jetzt meinen Teil und du dir von mir aus deinen.
Musst auf meine Fragen ja in Zukunft nicht mehr Antworten.

14.06.2009, 20:07

AD

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Alles klar, du kommst wie gewünscht auf meine Ignorierliste. Wink

Wink

14.06.2009, 20:09

freddy91

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smile

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