Exponentialfunktionen

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morfck Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktionen
Hallo zusammen,

ich weiß, bzw. habe gelesen, das in diesem Forum keine kompletten Lösungen gegeben werden, brauche jedoch dringend eure Hilfe, da ich ich einer Woche mündl. Fachabi in Mathe habe und wirklich kein bisschen verstehe! Hier sind erstmal die Aufgaben dazu:

Aufgabe 1: Ein radioaktives Präparat zerfällt in der Weise, das nach einem Jahr noch 1/3 der Ausgangsmenge voranden ist. Wie lautet die Gleichung der Funktion, die den Zerfall beschreibt? Wieviel radioaktives Material ist nach 5 Jahren noch vorhanden?

Aufgabe 2: Eine Wasserpumpe fördert 60 l / min.. Wie lautet die Gleichung der Funktion, die die Fördermenge in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? Beschreibe den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum.

Aufgabe 3: Ein Waldbestand mit 100000 m³ Holz wächst gleichmäßig um 6% je Jahr. Wie lautet die Funktionsgleichung, die den Sachverhalt beschreibt?


Aufgabe 4: Von einem radioaktiven Material zerfällt in 10 Jahren ein Anteil von 16%. 1990 betrug die Masse des radioaktiven Materials 100g. a.) Wie lautet die Funktionsgleichung, die den radioaktiven Zerfall beschreibt? (10 Jahre = 1 Einheit) b.) Ermittle die Halbwertszeit.

Aufgabe 5: Welchen Wert haben 1000 Euro in 100 Jahren, wenn sie zu 3% angelegt werden? Wann haben sich die 1000 Euro verdoppelt?

Aufgabe 6: Ein Euro wird heute zu 7% Zinseszins für 50 Jahre angelegt. a.) Wie lautet die Gleichung der Funktion, die das Wachstum des Kapitals K (in Euro) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschreibt? b.) Auf wieviel Euro ist das angelegte Kapital nach 50 Jahren angewchsen?

Aufgabe 7: Ein Algenteppich vergrößert die täglich von ihm bedeckte Wasserfläche um 12%. Zu Beobachtungsbeginn bedeckte er eine Fläche von 50m². Wie lautet die Gleichung der Eponentialfunktion, die das Wachstum des Algenteppichs beschreibt? Wie groß ist die bedeckte Fläche nach 10 Tagen?



Wir haben in der Schule folgende Formel gehabt:

f(t)=a*b^t

doch leider kann ich damit überhaupt nichts anfangen. Nochmal zur ersten Aufgabe:

Ein radioaktives Präparat zerfällt in der Weise, das nach einem Jahr noch 1/3 der Ausgangsmenge voranden ist. Wie lautet die Gleichung der Funktion, die den Zerfall beschreibt? Wieviel radioaktives Material ist nach 5 Jahren noch vorhanden?

Was ist denn in diesem Fall a und was b? 5=t, soweit ist das klar.
Ich brauche ganz dringend eure Hilfe!

Lg morfck
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktionen
Das sind Aufgaben für die 10. Klasse und Du hast keinen Ahnung ? verwirrt

Neben der Formel
Zitat:
f(t)=a*b^t


hast Du noch ihre Umstellungen kennengelernt. Die solltest Du für die Aufgaben anwenden

Zu Frage 1:
Wie groß ist die Zerfallsrate? Das ist nämlich Dein b
Setze für a 100% ein.

LG sulo
 
 
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich hatte diese Art von Aufgaben noch nicht. Auch wenn man sowas in der 10. Klasse rechnet.

Wie sind denn die Umstellungen?
Also setze ich für b einfach 1/3 bzw. 0,33 ein?
Und ist a immer 100%?

Könntest du mir vll. mal ein beispiel zu dieser Aufgabe geben bzw. den Lösungsweg aufzeigen?
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

ist es so richtig?

f(t)=100*0,33^5

kein plan! -.-

edit: bzw. f(5)=100*0,33^5
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und ist a immer 100%?

Wenn Du keine Angabe für Ausgangsmenge und Endmenge hast, kannst Du 100% einsetzen.

Zitat:
Also setze ich für b einfach 1/3 bzw. 0,33 ein?

Auf jeden Fall den Bruch! Der Dezimalbruch ist zu ungenau.

Zitat:
Könntest du mir vll. mal ein beispiel zu dieser Aufgabe geben bzw. den Lösungsweg aufzeigen?

f(t)=a*b^t

a = 100%
b= 1/3
t = 5

Jetzt einfach einsetzen....smile

edit: Das ist überkreuz gelaufen....
Rechne doch Deinen Ansatz mal aus....Augenzwinkern
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

f(5)=100*1/3^5 = 0.4115

ist das so richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sind 0,4115% Freude
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, prima! Freude
du hattest nochmal was von umstellen gesagt! was meinst du genau damit?

ich probier mich jetzt mal an die zweite aufgabe:

eine wasserpumpe fördert 60 l / min.. Wie lautet die gleichung der funktion, die die fördermenge in abhängigkeit von der zeit beschreibt? beschreibe den unterschied zwischen linearem und exponentiellem wachstum.

muss doch dann wieder:

f(t)=a*b^t sein.
und wie dann weiter?

f(t)=100*60^t? böse
jetzt weiß ich nämlich nicht mehr weiter!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
du hattest nochmal was von umstellen gesagt! was meinst du genau damit?


Ich habe mal die Standdarstellung aufgeschrieben:









Sie sieht etwas anders aus als Deine Gleichung, aber Du kannst die Terme ja entsprechend einsetzen. Augenzwinkern

Zitat:
f(t)=100*60^t?

Die zweite Aufgabe kann so nicht beschrieben werden.
Überlege mal, wie die geförderte Menge mit der Zeit wächst: ist das linear oder exponentiell?

Edit: Formel verbessert....
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

mh, das verhält sich ja so:

0 min. = 0l
1 min. = 60l
2 min. = 120l
3 min. = 180l
etc..

aber wie sich das jetzt verhält, das weiß ich nicht! unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du das zeichnest, bekommst Du eine Gerade. Es handelt sich also um lineares Wachstum.

Entsprechend kann in der Funktionsgleichung kein Exponent auftauchen.
Die Menge des gepumpten Wassers ist ausschließlich von der Zeit abhängig.

Also: f(t) = a * t
Wir haben a = 60 l / min und t = Zeit in min, also gilt: f(t) = 60 * t
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

und die aufgabe ist dann komplett? muss nichts mehr gerechnet werden? Augenzwinkern

ich hab derzeit mal die dritte aufgabe probiert:

Ein Waldbestand mit 100000 m³ Holz wächst gleichmäßig um 6% je Jahr. Wie lautet die Funktionsgleichung, die den Sachverhalt beschreibt?

ist dann: f(t)=a*b^t

f(t)=100000m³*0,6^t? oder sind es 1,06?

edit: weil da ja pro jahr steht - müssen dann als zeit=t 12 monate angegeben werden?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und die aufgabe ist dann komplett? muss nichts mehr gerechnet werden?

Es wird nach dem Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gefragt. Da solltest Du Dich mal schlau machen...


Zitat:
f(t)=100000m³*0,6^t? oder sind es 1,06?

Wenn es 0,6 wären, würde der Waldbestand ziemlich stark schrumpfen Augenzwinkern

Zitat:
weil da ja pro jahr steht - müssen dann als zeit=t 12 monate angegeben werden?

Nee, weil da pro Jahr steht, ist die Zeiteinheit eben Jahre ....smile
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

zum wachstum nochmal:

es handelt sich um ein lineares wachstum, da das wachstum konstant ist und nicht proportional, was bei exponentialfunktionen der fall sein müsste.

zu nummer drei wäre dann:

f(t)=100000m³*1,06^t
diese aufgabe wäre dann auch fertig, oder? man kann natürlich für t beliebige werte einsetzten und dann ausrechnen!

hab aber nochmal eine frage: warum muss ich denn für 6% = 1,06 einsetzen?

ist das dan bei 8% auch immer 1,08?
wie verhält es sich bspw. bei 15%? ist es dann 1,015 oder einfach 1,15?

ps: weist du warum ich nach jeder antwort die ich schreibe autom. ausgeloggt werde? geschockt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zum wachstum nochmal:

es handelt sich um ein lineares wachstum, da das wachstum konstant ist und nicht proportional, was bei exponentialfunktionen der fall sein müsste.

Es muss heißen: exponentiell, nicht: proportional

Nummer 3 ist richtig so.

Warum Du ausgeloggt wirst, weiß ich nicht, da kannst Du eine Anfrage unter "Fragen zum MatheBoard & ... " stellen

Zitat:

hab aber nochmal eine frage: warum muss ich denn für 6% = 1,06 einsetzen?

ist das dan bei 8% auch immer 1,08?
wie verhält es sich bspw. bei 15%? ist es dann 1,015 oder einfach 1,15?


Der Wachstumsfaktor wird wie folgt gebildet: , wobei p der Prozentsatz ist.
Bei p = 15% ist q = 1,15

edit: Tippfehler....
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann bedanke ich mich erstmal bei dir! ohne dich, wäre ich glaube ich echt aufgeschmissen.. Freude

bist du hier oft im forum unterwegs?
ich muss nämlich jetzt off und werde die anderen drei aufgaben mal alleine probieren!
danach stelle ich sie gleich morgen nochmal hier in den thread - wenn du magst, kannst du dann ja nochmal reinschauen - ich will ja nicht sagen das du reinschauen MUSST! =) aber wäre echt nett!

bis morgen dann,
lg morfck
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich bin hier öfter Augenzwinkern

Ansonsten sind aber auch viele andere Mitglieder da, die auch gerne helfen.

LG sulo Wink
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

habe jetzt die folgenden aufgaben noch einmal probiert:

Aufgabe 4: Von einem radioaktiven Material zerfällt in 10 Jahren ein Anteil von 16%. 1990 betrug die Masse des radioaktiven Materials 100g. a.) Wie lautet die Funktionsgleichung, die den radioaktiven Zerfall beschreibt? (10 Jahre = 1 Einheit)

f(t)=a*b^t
f(10)=100*1,16^10=441,1435

Aufgabe 5: Welchen Wert haben 1000 Euro in 100 Jahren, wenn sie zu 3% angelegt werden? Wann haben sich die 1000 Euro verdoppelt?

f(t)=a*b^t
f(100)=1000*1,03^100=19218,6319

Aufgabe 6: Ein Euro wird heute zu 7% Zinseszins für 50 Jahre angelegt. a.) Wie lautet die Gleichung der Funktion, die das Wachstum des Kapitals K (in Euro) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschreibt? b.) Auf wieviel Euro ist das angelegte Kapital nach 50 Jahren angewchsen?

f(t)=a*b^t
f(50)=1*1,07^50=29,45€

Aufgabe 7: Ein Algenteppich vergrößert die täglich von ihm bedeckte Wasserfläche um 12%. Zu Beobachtungsbeginn bedeckte er eine Fläche von 50m². Wie lautet die Gleichung der Eponentialfunktion, die das Wachstum des Algenteppichs beschreibt? Wie groß ist die bedeckte Fläche nach 10 Tagen?

f(t)=a*b^t
f(t)=50m²*1,12^t
f(10)=50m²*1,12^10=155,29m²

ich hoffe, die aufgaben sind so weit richtig? verwirrt
bei nr. 6 und 7 hab ich ja € und m² raus.. was ist es denn bei nr.4 und 5?
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

kann vielleicht nochmal jemand drüber gucken? Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von morfck
Aufgabe 4: Von einem radioaktiven Material zerfällt in 10 Jahren ein Anteil von 16%. 1990 betrug die Masse des radioaktiven Materials 100g. a.) Wie lautet die Funktionsgleichung, die den radioaktiven Zerfall beschreibt? (10 Jahre = 1 Einheit)

f(t)=a*b^t
f(10)=100*1,16^10=441,1435

Merkwürdigerweise nimmt das Material zu, obwohl es doch zerfallen sollte. Augenzwinkern
Und eine Funktionsgleichung ist das auch nicht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte Deine Aufgaben am Montag nicht gesehen, obwohl ich danach gesucht hatte, war wohl blind .. verwirrt

Zitat:
Ich hoffe, die aufgaben sind so weit richtig?
bei nr. 6 und 7 hab ich ja € und m² raus.. was ist es denn bei nr.4 und 5?

Also bei Nr. 6 + 7 stimmen sowohl die Lösungen als auch die Einheiten. Freude

Bei Nr. 5 stimmt die erste Lösung, es fehlt allerdings die zweite.
Auf die Einheit solltest Du schon alleine kommen, Du musst doch verstanden haben, was Du da ausrechnest... Augenzwinkern

Und Nr. 4 stimmt nicht, wie klarsoweit schon erläutert hat...
Da solltest Du noch mach überlegen, was anders gemacht werden muss.

LG sulo
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Einheit bei Nr.5 ist natürlich € und bei Nr. 4 sind es Jahre, oder?

Die Nr. 4 bekomme ich überhaupt nicht hin.. ich hab doch die Werte soweit eingesetzt, oder soll ich anstatt die 1,16 = 0,16 einsetzen? verwirrt

Und Nr.5 verstehe ich auch nicht.. Das Geld soll sich ja verdoppeln, kann ich das dann einfach *(mal) 2 nehmen? Big Laugh

Ach man, Mathe war noch nie mein Freund! Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also die Einheit bei Nr.5 ist natürlich € und bei Nr. 4 sind es Jahre, oder?

Für 4b und 5a ist das richtig. Freude



Zitat:
Das Geld soll sich ja verdoppeln, kann ich das dann einfach *(mal) 2 nehmen?

Wirst Du wohl müssen...Big Laugh

Verwende diese Formel:
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

und was muss ich da einsetzen? verwirrt verwirrt
ich verstehe garnichts mehr! traurig

edit:

ist das so:

1000 log/1.03 log = 233,695

weil t ist = log2/logb, also a(1000)/b(1,03) ?

edit2: und was ist mit der nr. 4, wegen dem zerfall?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Du hast die Formel:

Und Du hast:
a0 = 1000 €
an = 2000 €
q = 1,03

Einfach einsetzen und Du bekommst n, also die Anzahl der Jahre, raus.

Zitat:
und was ist mit der nr. 4, wegen dem zerfall?

Du musst zuerst die Zerfallsrate berechnen. Wenn in 10 Jahren 16% zerfallen sind, hast Du noch 84%.
Die Zerfallsrate q ist deshalb 0,84, bezogen auf 1 n = 10 Jahre.

Zu b)
Die Halbwertszeit berechnen heißt, berechnen, wann noch 50% des Ausgangsmaterials vorhanden sind.
Also:
a0 = 100% ==> der Einfachheit halber nimm hier: 2
an = 50% ===> und hier nimmst Du: 1 (ist die Hälfte Augenzwinkern )
q = 0,84
Jetzt wie Nr 5 rechnen...
Hier allerdings beachten: 1 n = 10 Jahre.

LGsulo
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habs mal probiert:

nr.4 ergebniss: 23,449 Jahre

nr.5 ergebniss: 3,9755 Jahre

ist das so richtig?

ich hab auch nochmal eine frage zu der formel die du dazu gepostet hast: kann ich die formel bei allem was gesucht ist benutzen? wenn jetzt z.B auch die zeit/prozent gesucht wird?

lg

edit: ist bei nr. 4 auch grad die funktionsgleichung beschrieben?
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

nachtrag:

z.B kann ich doch die formel bei folgender aufgabe verwenden:
1.1 In welcher Zeit verdoppelt sich ein Guthaben von 4000€ bei einer Verzinsung von 5%?
dann ist:

a0=4000€
an=8000€
q=1,05%

= 14,2066 Jahre

Aber was mache ich bei folgender Aufgabe:
Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 800€ auf 1000€ in 4 Jahren an?
Kann ich da die selbe Formel nehmen?

lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

mY+
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mythos ;-)

und was ist in diesem fall a0, an und p? verwirrt Freude
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 800€ auf 1000€ in 4 Jahren an?
Zitat:
was ist in diesem fall a0, an und p?
Auf a0 und an solltest Du selbst kommen, p bzw q ist ja gerade gesucht Augenzwinkern , dafür weißt Du n = 4 Jahre.

Entsprechend musst Du jetzt die Formel mit q = .... verwenden.

LG sulo
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

p= log (1000/800) / log 4 verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bisschen Nachdenken würde nicht schaden.... unglücklich

Dies waren die Formeln, die Du brauchst. Je nach dem, was gesucht wird, musst Du eine andere verwenden....









Nun klar? Augenzwinkern

Und hierzu:
Zitat:
nr.4 ergebniss: 23,449 Jahre

nr.5 ergebniss: 3,9755 Jahre

ist das so richtig?

1. Es heißt: Ergebnis Augenzwinkern

2. n = 3,9755 ist die Lösung bei Aufgabe 4b. Hier hatte ich Dich zweimal daraufhingewiesen, dass 1 n = 10 Jahre sind.....

3. 23,449 Jahre ist die Lösung zu Aufgabe 5b. Freude

Edit: Formel verbessert
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die formeln! ;-)

zu nr 5: wenn 1n=10 jahre, dann 3,9755n= 40 jahre!

zur neuen aufgabe:

wie gebe ich denn sowas in den taschenrechner ein?

also erstmal 1000/800=1,25 aber wie ziehe ich dann die 4. wurzel? hab einen casio!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

39,755 Jahre stimmt nun Freude

edit: Genauer als 40 Jahre wäre die Angabe 39 Jahre und 9 Monate ....Augenzwinkern

Welchen casio hast Du denn?
(Warum hat man das euch nicht in der Schule erklärt? verwirrt ....)
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

hab einen casio fx-82solar Big Laugh

wenn ich das mal wüsste. meine lehrerin hat nen knall! böse ohne dieses forum wäre ich echt arm dran!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es der fx 82 ms ist, dann geht es so:

4 SHIFT ( 1000 : 800 ) =

edit: Es sollte besser so lauten: SHIFT x^y
Die Funktion erhält man durch SHIFT x^y
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

aww, ich habs! ;D

4 x^y (1000:800) = 5,65 -> 5,7% ist auch die lösung auf dem blatt das ich dazu habe! smile

Ich hoffe, ich kannnoch ne aufgabe fragen?! geschockt

Welcher Prozentsatz müsste vorliegen, damit sich ein Kapital von 1000€ in 10 Jahren verdreifacht? Hängt die Zeit von der Größe des Anfangskapitals ab?

Hier hab ich es jetzt genau so gemacht wie bei der Aufgabe zuvor. habe 10 x^y (3000:1000)=1000 raus! als lösung ist aber 11,6% vorgegeben! Gott

und

Erna erhält von ihrem Onkel jeweils 150€ zum 10., 11., und 12. Geburtstag. Das Geld wird (sofort nach Erhalt) mit 4% auf der Sparkasse verzinst. Über welchen Betrag kann Erna zu ihrem 18. Geburtstag verfügen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
4 x^y (1000:800) = 5,65 -> 5,7% ist auch die lösung auf dem blatt das ich dazu habe!

unglücklich

Du musst die SHIFT Taste drücken, damit die xte Wurzel gezogen wird...
Wenn Du es machst, kommt 1,05737 raus. Das ist Dein q.
Das p kannst Du errechnen (Formel habe ich schon aufgeschrieben), es ist dann 5,737 bzw. kurz 5,7 ....


Zitat:
Welcher Prozentsatz müsste vorliegen, damit sich ein Kapital von 1000€ in 10 Jahren verdreifacht? Hängt die Zeit von der Größe des Anfangskapitals ab?


Nein, hängt sie nicht.

Zitat:
Hier hab ich es jetzt genau so gemacht wie bei der Aufgabe zuvor. habe 10 x^y (3000:1000)=1000 raus! als lösung ist aber 11,6% vorgegeben!

Gleicher Fehler, nehme ich an...

Ich muss jetzt leider off gehen, was arbeiten ...
Bin heute abend wieder on, ansonsten hilft Dir sicher auch jemand anderes gerne.

LG sulo Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich in einer bestimmten Zeit 1000.- € verdreifachen, so tut das 1.- € genau so. Es ist also egal, ob aus 1000.- € schließlich 3000.- € werden oder aus 1.- € eben 3.- €.

Ich sehe es ausserdem als kontraproduktiv an, mehrere aus einer einzigen Formel abgeleitete verschiedene Formeln zu verwenden, die man sich u.U. auch zu merken hat. Das ist eine unnötige Belastung.
Sinnvoller ist es, immer nur von ein und derselben Formel auszugehen (Zinseszinsformel) und diese - je nach den Erfordernissen der Aufgabe - entsprechend umzustellen. Dann wird aus dieser Aufgabe der Ansatz:



Wie löst du diese Gleichung nun nach q, und zwar richtig? Wie entsteht dann p aus q? Rechne zuerst allgemein! Der Taschenrechner sollte immer erst zum Schluss das Mittel zu dem Zweck sein, einen bereits fertig vorliegenden algebraischen Ausdruck wertmäßig zu bestimmen.

Bemerkung: Der Thread wird lang und unübersichtlich, wenn du darin immer wieder neue Aufgaben postest. Schon am Anfang ist es nicht passend, 7(!) verschiedene Aufgaben in einer einzigen Diskussion abzuhandeln, ausgenommen, sie sind einander sehr ähnlich und gehen alle nach dem gleichen Schema.

mY+
morfck Auf diesen Beitrag antworten »

also, jetzt verstehe ich garnichts mehr... welche formel soll ich den nun benutzen? gibt es nicht eine mit der man alles machen kann?

ich bin nicht sonderlich gut in mathe - hab eigentlich gar keinen plan... weiß weder was p noch q ist! tut mir leid.. sonst würd ich mich nicht hier an euch wenden!
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