Integration

14.06.2009, 20:53	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Irgendwie verzweifle ich gerade an dem folgenden Integral - aber vielleicht habe ich inzwischen nur so lange drauf gestarrt, dass ich das Offensichtliche nicht mehr sehe... $\begin{eqnarray} \int \sqrt{-x^2+2x+3} \, dx \end{eqnarray}$ Schätzungsweise geht es mit partieller Integration, aber ich kriege es gerade einfach nicht hin...
14.06.2009, 21:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die quadratische Ergänzung $\begin{eqnarray} -x^2+2x+3 = 4-(x-1)^2 \end{eqnarray}$ legt angesichts vieler Grundintegrale mit Strukturen $\begin{eqnarray} \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray}$ die Substitution $\begin{eqnarray} t = \frac{x-1}{2} \end{eqnarray}$ nahe.
14.06.2009, 21:16	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Ich versuch's mal damit
15.06.2009, 10:21	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Du meinst aber schlussendlich schon die Substitution: $\begin{eqnarray} x = 1 + 2 \sin u \end{eqnarray}$ oder?
15.06.2009, 15:02	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass man dann den Sinus nochmal substituieren kann, weiß ich schon auch. Das doofe ist nur, dass ich eigentlich das Integral $\begin{eqnarray} \int (-x^2+2x+3)^{\frac{3}{2}} \, dx \end{eqnarray}$ lösen will - läuft ja nach dem gleichen Prinzip, aber dann kommt man eben auf $\begin{eqnarray} \int \sin^4 z \, dz \end{eqnarray}$ ... und das kann man auch nicht wirklich schön lösen...? Aber vllt. fällt mir ja noch was ein...
15.06.2009, 15:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst dich z.B. durch wiederholtes partielles Integrieren durchwursteln. Ich bin allerdings ein Fan intelligenten Einsatzes der Additionstheoreme, konkret wären hier $\begin{eqnarray} \sin^2(t) = \frac{1-\cos(2t)}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos^2(t) = \frac{1+\cos(2t)}{2} \end{eqnarray}$ brauchbar: $\begin{eqnarray} \sin^4(z) = \left( \frac{1-\cos(2z)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos(2z) + \cos^2(2z) \right) = \frac{1}{8} \left( 3 - 4\cos(2z) + \cos(4z) \right) \end{eqnarray}$ Und das lässt sich doch leicht integrieren.
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15.06.2009, 15:24	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Jupp, das stimmt. Ist ja super ... sind die Additionstheoreme ja doch ausnahmsweise mal nützlich
15.06.2009, 15:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "ausnahmsweise" bitte streichen. Man kann es auch so ausdrücken: Durch wiederholte Anwendung von $\begin{eqnarray} \sin(x)\sin(y) &=& \frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} \\[2ex] \sin(x)\cos(y) &=& \frac{\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2} \\[2ex] \cos(x)\cos(y) &=& \frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2} \end{eqnarray}$ kann man jeden beliebigen Term $\begin{eqnarray} \sin^m(x)\cos^n(x) \end{eqnarray}$ mit positiv ganzzahligen Exponenten $\begin{eqnarray} m,n \end{eqnarray}$ auf eine gewichtete, leicht integrierbare Summe von $\begin{eqnarray} \sin(kx) \end{eqnarray}$ - bzw. $\begin{eqnarray} \cos(kx) \end{eqnarray}$ -Termen zurückführen, mit $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq m+n \end{eqnarray}$ .
15.06.2009, 15:34	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Als ich bei Maple ein bisschen rumprobiert habe, fiel mir auch schon auf, dass es immer auf ähnliches hinausläuft - wusste nur eben nicht, wie man drauf kommt. Aber die Additionstheoreme sind da natürlich eine gute Erklärung... Danke nochmal!

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