Unbestimmte Ausdrücke

14.06.2009, 20:54

eey

Unbestimmte Ausdrücke

hallo zusammen, hab eine Frage zu grenzwertaufgaben...

und zwar ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{0} \end{eqnarray*}$

kein unbestimmter ausdruck (steht zumindest nicht in der Liste der unbestimmten Ausdrücke), also kann man ja damit nicht die Regel von L-Hopital anwenden...

Gibts also irgendeine Möglichkeit einen solchen Term umzuformen in einen unbestimmten Ausdruck?

Also ganz konkret hab ich folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 }~{x^2\cdot (ln(x)-1)} \end{eqnarray*}$

das form ich halt um, in die Form:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 }~{\frac{ln(x)-1}{x^{-2}}} \end{eqnarray*}$

durch einmaliges ableiten erhalt ich dann die Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 }~{-\frac{1}{2}\cdot x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

ok, soweit so gut, jetzt will ich das aber auch für unendlich machen und zwar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }~{x^2\cdot (ln(x)-1)} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt wieder umform nach

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }~{\frac{ln(x)-1}{x^{-2}}} \end{eqnarray*}$

hab ich ja keinen unbestimmten Ausdruck mehr sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{0} \end{eqnarray*}$

womit wir bei meiner ursprünglichen Frage wären....
(denn geh ich hier vor wie oben kommt als Grenzwert ja minus unendlich raus, was ja offensichtlich
falsch ist)

PS: Dass der Grenzwert unendlich ist weiß ich, denn unendlich im Quadrat ist unendlich
und ln unendlich ist auch unendlich also hab ich unendlich mal unendlich ist gleich unendlich,
aber ich würds gern mit der L-Hopital Methode lösen können, weil ich schon oft das Problem hatte
dass ich unendlich:0 oder umgekehrt hatte.....

Vielen Dank schonmal für eure Antworten,

eey

14.06.2009, 21:03

Airblader

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Das ist aber Unsinn.
Wieso willst du etwas mit l'Hospital lösen, wo l'Hospital nicht greift?

Du erhälst eine Art $\begin{eqnarray*} \infty \cdot \infty \end{eqnarray*}$ und damit ist der Grenzwert klar. Punkt aus. Augenzwinkern

Edit:
Und auch das Umfomen zu "oo/0" ändert nichts. Etwas sehr großes durch etwas sehr kleines ist was gigantisch großes. Augenzwinkern

air

14.06.2009, 21:19

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Zitat:

Original von Airblader
Und auch das Umfomen zu "oo/0" ändert nichts.

Es ist sogar schädlich, weil man dadurch die Richtungsinformation (also $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) der bestimmten Divergenz verliert.

14.06.2009, 21:53

eey

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Danke euch schonmal für euchre Antworten Freude

Zitat:

Original von Airblader
Das ist aber Unsinn.
Wieso willst du etwas mit l'Hospital lösen, wo l'Hospital nicht greift?

Du erhälst eine Art $\begin{eqnarray*} \infty \cdot \infty \end{eqnarray*}$ und damit ist der Grenzwert klar. Punkt aus. Augenzwinkern

Edit:
Und auch das Umfomen zu "oo/0" ändert nichts. Etwas sehr großes durch etwas sehr kleines ist was gigantisch großes. Augenzwinkern

air

naja, ich wollte wie eigentlich nur wissen obs ne möglichkeit gibt so nen Term umzuformen auf nen bestimmten ausdruck....
weil nicht immer sieht man ja sofort dass man zB unendlich*unendlich hat, ich hatte schon oft das problem dass ich bei l-Hospital nicht weitermachen konnte, weil ich eben 0:unendlich oder unendlich:0 hatte.....

Zitat:

Original von Arthur Dent
Es ist sogar schädlich, weil man dadurch die Richtungsinformation (also $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) der bestimmten Divergenz verliert.

Das versteh ich jetzt nicht so ganz, wie meinst du dass?

14.06.2009, 21:57

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Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{f(x)} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Umkehrung gilt hingegen nicht - das kannst du dir gern an einigen Gegenbeispielen überlegen.

14.06.2009, 22:55

Airblader

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Zitat:

weil nicht immer sieht man ja sofort dass man zB unendlich*unendlich hat, ich hatte schon oft das problem dass ich bei l-Hospital nicht weitermachen konnte, weil ich eben 0:unendlich oder unendlich:0 hatte.....

Na und?
Diese Ausdrücke geben ebenso wenig Anlass zur Sorge.

Ein unbestimmter Ausdruck ist deswegen unbestimmt, weil man ihm nichts zuweisen kann. Den von dir genannten kann man das in einem gewissen Kontext aber sehr wohl - und dann ist (bitte steinigt mich nicht, weil das nun nicht ganz formal korrekt ist):

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

Überlege es dir so: Null durch irgendwas ist Null. Irgendwas (reelles) durch Unendlich ist auch Null. Bei Null durch Unendlich hast du also doppelten Anlass zum Gedanken, dass Null herauskommt - es gibt hier einfach kein Problem !

Bei einem unbestimmten Ausdruck wie 0/0 ist das aber eben anders:
Null durch etwas ist Null, Etwas durch Null aber sozusagen Unendlich. Hier entsteht also ein Konflikt, und darum ist der Ausdruck unbestimmt.

Achja ... Unendlich durch Null ist aus dem selben Grund nicht problematisch, denn hier gibt es doppelten Anlass dafür, dass es Unendlich sein muss.

air
P.S.: Bitte nochmal: Das Ganze ist natürlich nicht astrein, doch ich denke, so versteht man es leichter ... niemals so direkt mit Unendlichkeiten rechnen, das darf man nicht !

14.06.2009, 23:37

eey

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cool, danke euch allen jetzt hab ichs gecheckt smile

noch ne Frage die mir nicht mehr aus dem Kopf geht:

unser mathe prof meinte vor kurzem man könne beweisen dass
1:unendlich ein BISSCHEN größer ist als 0

er hat aber gemeint das zu beweisen wär viel zu kompliziert für uns

aber wie ist sowas zu verstehen?

14.06.2009, 23:57

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von eey

unser mathe prof meinte vor kurzem man könne beweisen dass
1:unendlich ein BISSCHEN größer ist als 0

Diese Aussage ist einfach Quatsch. Wenn man „1/unendlich“ als Kurzschreibweise für einen Grenzwert definiert, kann das ja nur dieser sein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} \qquad \lim_{x \to a} f(x) = +\infty; \ 0 \notin W_f \end{eqnarray*}$

Und das ist nun mal genau 0.

Vielleicht meinte der Lehrer, dass eine Funktion vom obigen Typ niemals 0 erreicht, sondern nur den Grenzwert 0 hat. Aber dann wäre das schon eine sehr komische Formulierung. Und was daran so schwer zu beweisen sein soll, verstehe ich auch nicht.

Hm, ich persönlich würde sowieso auf diese komischen „Rechnungen mit der Unendlichkeit“ verzichten. Außer man ist wirklich so erfahren, dass man jederzeit weiß, was man tut.

15.06.2009, 00:06

eey

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Zitat:

Original von Jacques
Vielleicht meinte der Lehrer, dass eine Funktion vom obigen Typ niemals 0 erreicht, sondern nur den Grenzwert 0 hat. Aber dann wäre das schon eine sehr komische Formulierung. Und was daran so schwer zu beweisen sein soll, verstehe ich auch nicht.

Ja, also unser unser Mathe Professor ist schon iwie sehr komisch, ich denk immer der lebt nicht so ganz auf unserer Welt sondern in seiner eigenen verwirrt

aber er hat das genau so gesagt:

"man kann beweisen dass 1:unendlich ein klitzekleines bisschen größer als 0 ist"

fand ich auch sehr seltsam, aber egal LOL Hammer

15.06.2009, 00:09

Airblader

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Lass dir den Beweis mal geben. Big Laugh

air

15.06.2009, 02:25

mYthos

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Zitat:

Original von eey
...
aber er hat das genau so gesagt:

"man kann beweisen dass 1:unendlich ein klitzekleines bisschen größer als 0 ist"
...

Da hat er nicht unrecht, solange man lediglich von einer Division ausgeht, denn da ist von einer Grenzwertbildung noch keine Rede. Die Division durch eine noch so große Zahl wird letztendlich immer einen Quotienten liefern, der sich (wenn auch nur minimal) von Null unterscheidet.
Bei der Grenzwertbildung lässt man den Divisor gedanklich über alle Grenzen gehen. Dann ist zwar der Grenzwert Null, der Quotient selbst kommt diesem Wert beliebig nahe, erreicht ihn jedoch faktisch nicht.

Insoferne muss ich Air widersprechen, dass die Aussage des Professors "Quatsch" ist.

mY+

15.06.2009, 05:28

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von mYthos

Insoferne muss ich Air widersprechen, dass die Aussage des Professors "Quatsch" ist.

Das war ich, nicht Airblader. Augenzwinkern

Dass der Professor wahrscheinlich das Verhalten der Funktion meint (0 wird nie erreicht), hatte ich oben auch schon vermutet, aber ich finde die Formulierung trotzdem sinnlos – oder zumindest sehr schlampig.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{+\infty} > 0\ ? \end{eqnarray*}$

verwirrt

Um das als Kurzschreibweise für das Funktionsverhalten zu deuten („1/+unendlich“ ist die Menge aller entsprechenden Funktionen o. ä.), muss man schon viel guten Willen haben, finde ich. Also für mich klingt die Aussage so, als wäre „1/unendlich“ irgendeine geheimnisvolle, winzig kleine Zahl, die quasi der direkte Nachbar der 0 ist. Das soll ja auch so schwierig zu beweisen sein.

Ich finde das in dieser Formulierung einfach Quatsch und sehr verwirrend. Du darfst ja auch nicht vergessen: Als Mathematiker hast Du natürlich ein gefestigtes Bild von den wahren Verhältnissen und kannst solche Schreibweisen passend interpretieren. Aber das geht eben nicht jedem so.

15.06.2009, 11:03

mYthos

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Das, was der Professor verständlich machen wollte: Zwischen "beliebig klein" und Null besteht eben doch ein Unterschied. Diesen müsste man erst einmal begreifen. Letztendlich scheitert dies an unserer (mangelnden) Vorstellungskaft, hier vor allem dabei, was den Begriff "unendlich" betrifft.

In der Mathematik schafft man mit der Grenzwertdefinition klare Verhältnisse:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \frac{1}{a} = 0 \end{eqnarray*}$

Bei natürlichen a betrifft dies das Bildungsgesetz einer Folge, bei reellen ist es der Grenzwert einer Funktion.

mY+

15.06.2009, 11:14

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Zitat:

Original von Jacques
Ich finde das in dieser Formulierung einfach Quatsch und sehr verwirrend.

So ist es. Dieses Gerede von dieser Zahl "bisschen größer als Null" ist einfach nur metaphysisch angehauchter Humbug, der in keinster Weise in das Modell der reellen Zahlen passt, welches heute anerkannt ist.

Es ist immer und immer wieder dieselbe Verwechslung:

(1) Der topologische Aspekt:

Der metrische Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann bei entsprechender Modifikation der Metrik um $\begin{eqnarray*} +\infty,-\infty \end{eqnarray*}$ ergänzt werden, so dass die bestimmte Divergenz im Reellen einer "normale" Konvergenz in diesem erweiterten Raum entspricht. Soweit funktioniert das alles mathematisch völlig korrekt, die Schreibweisen $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ usw. werden in diesem Sinne auch gerechtfertigt - obwohl sie in der Schule sicher anders eingeführt werden.

(2) Der algebraische Aspekt:

Es ist schlicht unmöglich, den Körper $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+,\cdot) \end{eqnarray*}$ unter Beibehaltung der üblichen Rechengesetze (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze) so um $\begin{eqnarray*} +\infty,-\infty \end{eqnarray*}$ zu erweitern, dass diese Rechengesetze im erweiterten Raum gültig sind. Insofern machen Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ NIE als direkte Rechenoperation Sinn, sondern stets nur im obigen Grenzwertsinne (1): Dass nämlich für jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{a_n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Und in dem Sinne kommt wirklich Null heraus - nicht etwas, was "ein bisschen größer" als Null ist.

15.06.2009, 11:59

eey

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da hab ich ja was losgetreten Big Laugh

aber der redet oft so schwer verständliches zeug....
letztens hat er gemeint bei einem Halbkreis, bei dem man die beiden äußersten Punkte wegnimmt (also praktisch den punkt ganz links und den punkt ganz rechts auf dem halbkreis) könne man andere punkte "strecken" um wieder einen halbkreis zu erlangen.... verwirrt

also irgendwie sehr seltsam und schwer vorstellbar was der so erzählt

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