MC zu skalarprodukten, dachprodukten, ML Abb & Eigen...

14.06.2009, 21:16	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
MC zu skalarprodukten, dachprodukten, ML Abb & Eigen... Ich habe wieder MC fragen bei denen ich keinen Rat weiß wir hatten diese Woche wieder schrecklich viele (4 Seiten voll) also denkt nnicht ich hätte keine alleine gemacht Ich wär echt danktbar wenn ihr mir helfen würdet! 1.Es sei $\begin{eqnarray} A \in GL(n, \mathbb R ) \end{eqnarray}$ . Ist dann $\begin{eqnarray} A^T A \end{eqnarray}$ positiv definit, d.h., gilt für alle $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R ^n \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle A^T Av, v \rangle > 0 \end{eqnarray}$ ? Ich weiß nicht Nr. 2 Vorr: Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Nr. 2.1 Es sei $\begin{eqnarray} \alpha \in V^ \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ .Ist die lineare Abb. $\begin{eqnarray} V^* \to \Lambda^2 V^* \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta \mapsto \alpha \wedge \beta \end{eqnarray}$ , injektiv? Würde sagen nein bin aber nicht sicher* Nr. 2.2 Es sei $\begin{eqnarray} \alpha \in V^ \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ . Für welche Werte von $\begin{eqnarray} dim V = n \end{eqnarray}$ ist die Abbildung $\begin{eqnarray} V^* \to \Lambda^2 V^* \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta \mapsto \alpha \wedge \beta \end{eqnarray}$ , surjektiv? A) Für kein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ B) Nur für n=1 C) Nurfür n=2 D) NUrfür n=3 E) Nurfür $\begin{eqnarray} n \in \{1,2\} \end{eqnarray}$ F) Nur für $\begin{eqnarray} n \in \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ G) Für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ich glaube das kommt darauf an ob alpha fest ist wäre das so so wäre A richtig* Nr.2.3 Gilt allgemein $\begin{eqnarray} \Lambda^k V^=\{\alpha_1 \wedge...\wedge \alpha_k : \alpha_1...\alpha_k \in V^\} \end{eqnarray}$ ? *ich würd sagen nein denn $\begin{eqnarray} \Lambda^n V^* \end{eqnarray}$ ist ja mit Kreuz und nicht mit wedge definiert* Nr. 2.4 Es sei $\begin{eqnarray} k,l \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \xi \in \Lambda^k V^ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \eta \in \Lambda^l V^* \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_1,...,v_{k+l} \end{eqnarray}$ derart, dass für alle $\begin{eqnarray} l\le i_1<...<i_k \le k+l \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \xi ( v_{i_1},...,v_{i_k})\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \eta ( v_{j_1},...,v_{j_l}) \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Gilt dann notwendigerweise $\begin{eqnarray} (\xi \wedge \eta) (v_1,...,v_{k+l}) \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ? Ich weiß nicht ich versteh das Dachproduckt nicht und brauch ein Beispiel dafür aber ich würde schätzen ja* Nr.2.5 Es sei $\begin{eqnarray} \{ \alpha_1,..., \alpha_n\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ .Ist dann in jedem Fall die Menge $\begin{eqnarray} \{ \alpha_{i_1} \wedge ... \wedge \alpha_{i_k} :i_1,...,i_k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \le i_1 < ...< i_k \le n \} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \Lambda^kV^* \end{eqnarray}$ ? Ich hatte das Ergenbis glaube ich schon gefunden denn ich hab ja angekreuzt aber ich weiß nicht mehr warum* Nr.2.6 Es sei $\begin{eqnarray} \{ \alpha_1,..., \alpha_n\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ . Gilt dann stehts für alle $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \alpha_1 \wedge...\wedge \alpha_n)(v_1,...,v_n)= det (v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ ? Ich hab was gefunden das sah so aus: $\begin{eqnarray} \xi_1,....,\xi_n \in V^* \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} ( \xi_1 \wedge ...\wedge \xi_n)(v_1,...,v_n)=det(\xi_i(v_j)) \end{eqnarray}$ ich dachte das könnte mit der Basis dann so stimmen wies da steht. Nr. 2.7 Was ist $\begin{eqnarray} dim( \Lambda^l V^) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} l>n \end{eqnarray}$ ? Ich hab 1 gefunden??
14.06.2009, 21:21	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
links darf ich nicht oder?
14.06.2009, 21:54	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
Nr.3 Es sei $\begin{eqnarray} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \end{eqnarray}$ diejenige Basis von $\begin{eqnarray} (\mathbb R^3) \end{eqnarray}$ die zur kanonischen Basis $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ dual ist. Ferner Sei $\begin{eqnarray} (\beta_1,\beta_2,\beta_3) \end{eqnarray}$ die Basis von $\begin{eqnarray} (\mathbb R)^* \end{eqnarray}$ , die zur Basis $\begin{eqnarray} (b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ dual ist, wobei $\begin{eqnarray} b_1=e_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=~\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_3= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen sie forgende Ausdrücke: Erst mal hab ich die Dualbasen ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \alpha_1 = (1,0,0) \alpha_2=(0,1,0)\alpha_3=(0,0,1) ~ \beta_1= (1,-1,0) \beta_2=(0,1,0) \beta_3=(0,0,1) \end{eqnarray}$* Nr.3.1 $\begin{eqnarray} (\alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \alpha_3)(u,v,w) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end {pmatrix}, v=\begin{pmatrix} 1\\4\\2 \end {pmatrix}, w=\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ich nicht weiß wie das Dachprodukt gemacht wird (ich hab mir die Definition angesehen es hat nix genutzt da kommt ja leider wieder das dachprodukt drin vor) kann ich diese und die anderen Aufgaben von diesem Typ nicht lösen Nr. 3.2 $\begin{eqnarray} (\alpha_2 \wedge \alpha_3)(u,v) \end{eqnarray}$ , wobei u und v wie oben. Nr. 3.3 $\begin{eqnarray} (\beta_1 \wedge \beta_2)(u,v) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$
14.06.2009, 22:11	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei Kein Körper. 4.1 Es sei $\begin{eqnarray} A\in M(n \times n,K) \end{eqnarray}$ diagonalisierbar und es exsistiere ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^k=0 \end{eqnarray}$ folgt dann automatisch A=0? 4.2 Sei $\begin{eqnarray} A,B\in M(n \times n,K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \in K^n \end{eqnarray}$ Eigenvektor sowohl von A als auch von B. Ist v notwendigerweise auch Eigenvektor von A+B? 4.3 Sei $\begin{eqnarray} A,B\in M(n \times n,K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ Eigenwert von A und $\begin{eqnarray} \mu \in K \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von B. Ist dann $\begin{eqnarray} \mu + \lambda \end{eqnarray}$ notwendigerweise Eigenwert von A+B? 4.4 Es sei $\begin{eqnarray} A\in M(n \times n,K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in GL(n.K) \end{eqnarray}$ .Haben A und $\begin{eqnarray} BAB^{-1} \end{eqnarray}$ notwendigerweise die gleichen Eigenwerte? 4.5 Es seien $\begin{eqnarray} \lambda_1,..., \lambda_n \in K \end{eqnarray}$ gegeben. Gibt es dann stets eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in M(n \times n,K) \end{eqnarray}$ , dern EIgenwerte genau $\begin{eqnarray} \lambda_1,..., \lambda_n \end{eqnarray}$ sind? Ich glaube schon
18.06.2009, 11:41	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Abgebetermin ist vorbei. Ich würde trotzdem gerne wissen wie man ein Dachproduckt bildet. Ich fänd es echt nett wenn jemand einfach ein beispiel mit zahlen einstellen würde weil so eines habe ich im ganzen www nicht gefunden hab.

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