Wahrscheinlichkeitsdichte

14.06.2009, 23:52

solemn333

Wahrscheinlichkeitsdichte

Hallo!
Ich soll für die folgende Funktion Mittelwert und Varianz berechnen.

$\begin{eqnarray*} f(x) =\begin {cases} 4x^{-4} & x \geq 1 \\ 0 & x < 1 \end {cases} \end{eqnarray*}$

Ich hab hier einen Haufen Formeln aus meinem Skript, aber weiß nicht, wie ich anfangen soll. verwirrt

Wie man grundsätzlich Varianz und Mittelwert bestimmt, weiß ich.
Kann es sein, dass man erst bestimmen muss, ob es sich um eine Gleich -, Normal-oder Exponentialverteilung handelt?

14.06.2009, 23:57

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Zitat:

Original von solemn333
$\begin{eqnarray*} f(x) =\begin {cases} 4x^{-4} & x \geq 1 \\ 0 & x < 1 \end {cases} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte, da die Bedingung $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x) ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$ verletzt ist. unglücklich

Bei irgendeiner Zahl hast du dich wohl verschrieben.

15.06.2009, 17:12

solemn333

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Richtig abgeschrieben hab ich sie ... Ok, dann ist in der Aufgabe wohl ein Fehler. Augenzwinkern

Aber ich will ja das Prinzip verstehen ...

Ich hab in meinem Skript das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin {cases} \frac {1}{b-a} & a \le x \le b \\ 0 & sonst \end {cases} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} E(X) = \frac {b+a}{2} & und & V(X) = \frac {b^2 - 2ab + a^2}{12} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kann ich das nicht anwenden. Ich finde aber auch keine Beispiele von Whtdichtefunktionen an Hand derer ich es verscuhen könnte, hast du vielleicht eins?

15.06.2009, 17:52

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Zitat:

Original von solemn333
Richtig abgeschrieben hab ich sie ...

Tatsächlich? Da steht nicht irgendwie $\begin{eqnarray*} 4x^{-5} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3x^{-4} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von solemn333
Wie man grundsätzlich Varianz und Mittelwert bestimmt, weiß ich.

Kann ich dir nicht glauben, denn sonst hättest du diese Frage nicht gestellt:

Zitat:

Original von solemn333
Kann es sein, dass man erst bestimmen muss, ob es sich um eine Gleich -, Normal-oder Exponentialverteilung handelt?

Nein, da bist du auf dem völlig falschen Dampfer. Es gibt allgemeingültige, für alle stetigen Verteilungen gültige Formeln für Erwartungswert und Varianz. Was du hier ansprichst, sind spezielle (nennen wir sie "vorberechnete") Formeln für genau diese Verteilungen, die sich aber auch aus der allgemeinen Formel ergeben - nur will man ja nicht jedesmal das Rad neu erfinden und die Integrale ausrechnen. Augenzwinkern

Leider gehört deine Verteilung (auch nach kleineren Korrekturen) zu keiner dieser Verteilungsklassen, also musst du selber rechnen, und zwar mit den bereits angesprochenen allgemeinen Berechnungsformeln: Es ist

$\begin{eqnarray*} E(h(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ h(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine beliebige messbare Funktion sein kann - wenn du den Begriff "messbar" nicht kennst, vergiss ihn einfach.

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^k \end{eqnarray*}$ ergibt einfach

$\begin{eqnarray*} E(X^k) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^kf_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Moment, unter anderem im Fall $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ . Exponent $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ wird als Hilfsgröße bei der Bestimmung der Varianz benötigt, denn für die gilt ja

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist alles, was an Formeln benötigt wird, beisammen - leg los (wenn du denn endlich die richtige Dichte hast)!

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