Standard-exponentialverteilt mit limes

15.06.2009, 09:40	DasTinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Standard-exponentialverteilt mit limes hu hu ich bin hier gerade fleissig am lösen meiner aufgaben und bräuchte mal eben eure hilfe. ich habe zwar eine lösung aber irgendwie habe ich das gefühl ich hab irgendetwas übersehen... könnte mal bitte jemand drüber schauen und mir sagen ob das so passt oder ob ich irgendwas übersehen habe!? aufgabe: $\begin{eqnarray} X_{1},X_{2},... \end{eqnarray}$ seien unabhängig und standard-exponentialverteilt. Berechnen Sie für $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ den Grenzwert von $\begin{eqnarray} P(max(X_1,...,X_n)<ln n+a) \end{eqnarray}$ für n gegen unendlich. so... ich hab da nun folgendes: $\begin{eqnarray} P(max(X_1,...,X_n)<ln n+a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(X_1<ln n+a)...P(X_n<lnn+a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{0}^{lnn+a}~-e^{-x_1}~dx_1...* \int_{0}^{lnn+a}~-e^{-x_n}~dx_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =n(e^{ln n+a}-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n\to \infty} (n(e^{lnn+a}-1)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a \leq 0 = \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a > 0 = - \infty \end{eqnarray*}$ Danke! LG Tinchen
18.06.2009, 11:18	JPL	Auf diesen Beitrag antworten »
HI Tinchen, gemeinhin ist $\begin{eqnarray} F(x) = 1-e^{-x} \end{eqnarray}$ bei standardexp-Verteilung. Deswegen folgt $\begin{eqnarray} P(max(X_1,...,X_n)<ln(n)+a)<br /> = n(1-e^{-ln(n)-a}) = n+n^2* e^{-a} \end{eqnarray}$ , was immer gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert, aber für a<0 und schneller als für für a>0. Grüße, JPL
18.06.2009, 11:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähem, wenn ich mich mal kurz räuspern darf: Das Produkt von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gleichen Werten $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} n\cdot z \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ . Und deswegen läuft das ganze auf den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \left(1 - e^{-\ln(n)-a} \right)^n = \left(1 - \frac{e^{-a}}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ hinaus, und der sollte bekannt sein...

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