Nullstellen

15.06.2009, 13:02

Sabinee

Nullstellen

Für $\begin{eqnarray*} a=(a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} p_a(x):=x^3-a_1x^2+a_2x-a_3 \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} a_0\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein fester Punkt, für den $\begin{eqnarray*} p_{a_0} \end{eqnarray*}$ drei verschiedene (reelle) Nullstellen $\begin{eqnarray*} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray*}$ besitzt.

Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U=U(a_0)\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ drei verschiedene Nullstellen besitzt. Zeigen Sie außerdem, dass die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray*} c=(c_1,c_2,c_3) \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar von den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ abhängen.

Hmm also ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen soll.

Ich habe mir als erstes überlegt die Funktion $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ so aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} p_a(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)=x^3-(c_1+c_2+c_3)x^2+(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)x+c_1c_2c_3 \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich die Funktion in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Wie aber gehts jetzt weiter?

Danke

15.06.2009, 21:53

Sabinee

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RE: Nullstellen
Weiß hierzu jemand vllt etwas?

15.06.2009, 22:10

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Betrachte doch basierend auf

Zitat:

Original von Sabinee
$\begin{eqnarray*} p_a(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)=x^3-(c_1+c_2+c_3)x^2+(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)x+c_1c_2c_3 \end{eqnarray*}$

die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(c_1,c_2,c_3) = \begin{pmatrix} c_1+c_2+c_3 \\ c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3 \\ c_1c_2c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auf eine geeignet gewählte Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eingeschränkt mit Bild $\begin{eqnarray*} V=f(U) \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} f\Big|_U: \; U\to V \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus. Ich nehme mal an, darüber hast du kürzlich was (in der Vorlesung vielleicht) gehört?

15.06.2009, 22:39

Sabinee

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Ja über Diffeomorphismus habe ich was gehört.
Seien $\begin{eqnarray*} G_1,G_2\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Gebiete.
Eine differenzierbare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: G_1\mapsto G_2 \end{eqnarray*}$ heißt Diffeomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1}: G_2\mapsto G_1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls differenzierbar ist.

Ich soll also jetzt eine geeignete Umgebung $\begin{eqnarray*} U(c)\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wählen, so dass Bild $\begin{eqnarray*} V=f(U) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f\Big|_U: \; U\to V \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus ist?

Ich denke ich muss also die Umgebung so wählen, dass die Abbildung bijektiv ist oder?

Mir ist allerdings noch nicht klar, was ich dadurch zeige wenn ich die Umgebung so wähle dass $\begin{eqnarray*} f\Big|_U: \; U\to V \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus ist verwirrt

15.06.2009, 22:42

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Dann studiere mal deine Unterlagen, und überlege dir gründlich, inwieweit du da diverse Aussagen hier nutzbringend anwenden kann. Nachdem ich dir den Ansatz hier genannt habe, werde ich nun nicht alle Details auf dem Silbertablett servieren. unglücklich

15.06.2009, 23:38

Sabinee

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Ich hab jetzt ne Idee, weiß aber nicht ob sie richtig ist.
Ich schaue nach ob die Abbildung in $\begin{eqnarray*} c=(c_1,c_2,c_3)\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.
Aber vorher müsste ich doch eine Umgebung von c finden, was mir ein wenig schwierigkeiten bereitet.

16.06.2009, 09:16

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Zitat:

Original von Sabinee
Ich schaue nach ob die Abbildung in $\begin{eqnarray*} c=(c_1,c_2,c_3)\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gewiss nicht invertierbar, denn wegen

$\begin{eqnarray*} f(c_1,c_2,c_3) = f(c_1,c_3,c_2) \end{eqnarray*}$

ist sie nicht mal injektiv und damit kann sie nicht bijektiv sein.

Aber: Betrachtest du z.B. die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf das Gebiet

$\begin{eqnarray*} M_{123} = \left\{ (c_1,c_2,c_3) \in \mathbb{R}^3 \Bigm| c_1 < c_2 < c_3 \right\} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist diese Einschränkung zumindest injektiv (warum?). Gleiches gilt für das Gebiet

$\begin{eqnarray*} M_{213} = \left\{ (c_1,c_2,c_3) \in \mathbb{R}^3 \Bigm| c_2 < c_1 < c_3 \right\} \end{eqnarray*}$ ,

und die auf analoge Weise konstruierten restlichen 4 Gebiete $\begin{eqnarray*} M_{132},M_{312},M_{231},M_{321} \end{eqnarray*}$ .

Jedes $\begin{eqnarray*} (c_1,c_2,c_3) \end{eqnarray*}$ mit drei unterschiedlichen Werten gehört nun zu einem dieser Gebiete, man kann sich in der Betrachtung auf eines von ihnen konzentrieren, sagen wir o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} U=M_{123} \end{eqnarray*}$ . Mit Bildmenge $\begin{eqnarray*} V=f(U) \end{eqnarray*}$ ist dann das derart eingeschränkte $\begin{eqnarray*} f: \; U\to V \end{eqnarray*}$ bijektiv.

16.06.2009, 15:29

Sabinee

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Ich denke auf $\begin{eqnarray*} U=M_{123} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv, denn es ist, mal auf das Beispiel bezogen, $\begin{eqnarray*} f(c_1,c_2,c_3) \neq f(c_1,c_3,c_2) \end{eqnarray*}$ , weil es gilt:

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2+c_3=c_1+c_3+c_2\Rightarrow c_2+c_3=c_3+c_2 \end{eqnarray*}$

Nun gilt aber auf der linken Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} c_2<c_3 \end{eqnarray*}$ und auf der rechten Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} c_3<c_2 \end{eqnarray*}$ . Ist jetzt $\begin{eqnarray*} c_3=c_3 \end{eqnarray*}$ so würde dann folgen: $\begin{eqnarray*} c_2<c_3<c_2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} c_2\neq c_2 \end{eqnarray*}$ analog für $\begin{eqnarray*} c_2=c_2 \end{eqnarray*}$ würde folgen $\begin{eqnarray*} c_3\neq c_3 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet es muss, damit die Gleichheit gilt, schon $\begin{eqnarray*} c_2=c_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3=c_2 \end{eqnarray*}$ sein, wobei die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=2,3 \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite der Gleichung von $\begin{eqnarray*} f(c_1,c_2,c_3) \end{eqnarray*}$ sind und die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=2,3 \end{eqnarray*}$ der rechten Seite der Gleichung aus $\begin{eqnarray*} f(c_1,c_3,c_2) \end{eqnarray*}$ sind. Somit folgt die Injektivität.

Ist das richtig?

Unsere Bildmenge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist dann so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} f(U)=V \end{eqnarray*}$ gilt und somit surjektiv ist, da für jedes $\begin{eqnarray*} v=(v_1,v_2,v_3)\in V \exists c=(c_1,c_2,c_3)\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(c_1,c_2,c_3)=(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann, $\begin{eqnarray*} f: \; U\to V \end{eqnarray*}$ bijektiv ist oder?

16.06.2009, 21:29

Sabinee

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Ich glaub ich habe es falsch gemacht.
Aber wieso das injektiv ist, ist mir ein absolutes Rätsel.
Wenn ich ein LGS aufstelle habe ich 3 Gleichungen mit 6 unbekannten verwirrt

18.06.2009, 15:25

Sabinee

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Ich überlege jetzt seit Tagen wieso das Injektiv ist aber ich komme nicht drauf verwirrt

Das kann doch nicht so schwer sein.

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Nullstellen

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