Körperhomomorphismen auf rat. Funktionenkörper

15.06.2009, 13:44	KlausPetersen	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperhomomorphismen auf rat. Funktionenkörper Hi, ich habe da ein kleines Problem bei Körperhomomorphismen. Also: Sei $\begin{eqnarray} K(t) \end{eqnarray}$ der rationale Funktionenkörper zu K. Sei $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Matrix über K und sei $\begin{eqnarray} \lambda_A : K(t) \to K(t), \quad \lambda_A(f) := f\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) \end{eqnarray}$ Ürsprünglich ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda_A \end{eqnarray}$ ein Körperhomomorphismus (sogar ein Isomorphismus), falls A invertierbar ist. Nun wollte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda_A \end{eqnarray}$ ein Körperhomomorphismus ist: 1. $\begin{eqnarray} \lambda_A (1) = 1 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \lambda_A (f+g) = (f+g)\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) = f\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) + g\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) = \lambda_A(f) + \lambda_A(g) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \lambda_A(f\cdot g) = (f \cdot g)\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) = f\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) \cdot g\left(\frac{at+b}{ct+d}\right) = \lambda_A(f) \cdot \lambda_A(g) \end{eqnarray}$ Ich dachte mir, soweit, sogut. Allerdings funktioniert dieser Beweis irgendwie nicht, sprich, damit ist nicht gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \lambda_A \end{eqnarray}$ ein Körperhomomorphismus ist. Denn sei $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f := t+1, \quad g := 2t+1 \end{eqnarray}$ So gilt: $\begin{eqnarray} \lambda_A(f) = f\left(\frac{0}{1}\right) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_A(g) = g\left(\frac{0}{1}\right) = 1 \end{eqnarray}$ Da Körperhomomorphismen stets injektiv sind, müsste f=g=1 gelten. Könnte mir evt. jemand helfen und sagen wo denn der Fehler im Beweis liegt? Finde den leider nicht. Vielen Dank im Vorraus.
16.06.2009, 13:23	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Klaus, Hier ist das Problem, dass die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht invertierbar ist, wie in der Voraussetzung gefordert. Der Beweis der Linearität wird davon zwar nicht beeinflusst, aber eine Grundeigenschaft eines Homomorphismus ist verletzt: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \lambda_A \end{eqnarray}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray} K(t) \end{eqnarray}$ definiert. Das Element $\begin{eqnarray} f=1/t \end{eqnarray}$ besitzt z.B. kein Bild. Gruß, Reksilat.

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