Zahlentheorie, Pythagoräische Tripel

15.06.2009, 16:56

noname

Zahlentheorie, Pythagoräische Tripel

grüße euch, ihr helden der mathematik!

ich setze mich derzeit mit pythagoräischen tripeln auseinander und bin dabei auf drei übungsaufgaben gestoßen, die mir doch etwas zu schaffen machen.
Die Aufgaben lauten:

Aufgabe 1:
Es sei $\begin{eqnarray*} (x, y, z) \in \mathbb N^{3} \end{eqnarray*}$ ein pythagoräisches Tripel. Zeigen Sie folgende Implikation:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb P \Rightarrow y = \frac{x^2 - 1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = \frac{x^2 + 1}{2} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2:
Ist $\begin{eqnarray*} (x, y, z,) \end{eqnarray*}$ ein pythagoräisches Tripel, so nennt man $\begin{eqnarray*} x + y + z \end{eqnarray*}$ den Umfang dieses Tripels. Zeigen Sie, dass eine Zahl $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ genau dann der Umfang eines primitiven pythagoräischen Tripels ist, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} u = 2mk \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m, k \in \mathbb N , m < k < 2m , k \end{eqnarray*}$ ungerade, $\begin{eqnarray*} (m, k) = 1 \end{eqnarray*}$

Aufgabe 3:
Für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} (x_{n} , y_{n} , z_{n}) \end{eqnarray*}$ ein primitives pythagoräisches Tripel mit Umfang $\begin{eqnarray*} 2^n(2^{n-1} + 1) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie dieses Tripel und berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{y_n}{x_n} , \lim_{n \to \infty } \frac{z_n}{x_n} , \lim_{n \to \infty } \frac{z_n}{y_n} \end{eqnarray*}$

bei der ersten aufgabe weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll. die gleichungen stimmen natürlich, pythagoräische tripel sind es dann aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine primzahl ist. soweit klar, nur wie gesagt, einen anfang finde ich nicht.
selbiges gilt leider für die beiden anderen aufgaben, bei der dritten aufgabe weiß ich leider nichts mit den indizes anzufangen und bei aufgabe 2 bekomme ich keinen zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} x, y, z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m, k \end{eqnarray*}$ hin, außer der tatsache, dass $\begin{eqnarray*} x + y + z = 2mk \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gerade ist.
würde mich freuen, wenn mir da vielleicht jemand grob die richtung zeigen könnte, in die ich gehen muss, um die aufgaben zu lösen.
ein dankbarer noname

15.06.2009, 17:13

Airblader

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Soweit ich das gerade nicht falsch sehe, beschränkt sich Aufgabe Eins darauf, zu zeigen, dass y und z dann natürliche Zahlen sind, denn der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + \left(\frac{x^2-1}{2}\right)^2 = \left(\frac{x^2+1}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

genügen alle x. Bleibt also die Bedingung, dass y und z natürlich auch natürlich sein müssen.

Und wenn man bedenkt, dass eine Primzahl ungerade sein muss (mit nur einer Ausnahme), dann folgt das recht schnell.

air

15.06.2009, 17:28

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Nein, das reicht nicht: Es soll ja nicht nur gezeigt werden, dass die drei ein Pythagoräisches Tripel bilden. Sondern, dass bereits aus der Primzahleigenschaft von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Darstellungen der anderen beiden Zahlen automatisch folgt - das ist schon etwas mehr.

15.06.2009, 17:30

noname

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dass x ungerade sein muss erklärt sich ja schon durch des teilen durch 2, damit y und z natürliche zahlen sein können, das ist klar, auch der fall x = 2 fällt raus, da es kein pythagoräisches tripel mit x = 2 gibt.
mein problem bezieht sich halt eher darauf, dass für y und z ausgerechnet dieser term rauskommen muss, wenn eben x die primzahl ist, da sehe ich leider derzeit noch keinen zusammenhang.

15.06.2009, 17:39

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Dann schau dir mal die Umformung

$\begin{eqnarray*} x^2 = z^2-y^2 = (z-y)(z+y) \end{eqnarray*}$

unter Teilbarkeitsgesichtspunkten an: Das Produkt rechts ist gleich einem Primzahlquadrat, außerdem ist ja $\begin{eqnarray*} z-y < z+y \end{eqnarray*}$ . Was bleibt dann nur noch für eine Aufteilung des Primzahlquadrats auf diese beiden Faktoren übrig?

----------------------------------

Die Aufgaben 2 und 3 wirken mir arg konstruiert aus der Kenntnis folgender Charakterisierung heraus:

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ zwei positive ganze teilerfremde Zahlen mit $\begin{eqnarray*} u>v \end{eqnarray*}$ , die nicht beide ungerade sind. Dann ist $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x = u^2-v^2 , \quad y = 2uv , \quad z = u^2+v^2 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

ein primitives pythagoräisches Tripel. Umgekehrt finden sich zu jedem primitiven pythagoräischen Tripel (ggfs. unter Vertauschung der Werte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ) solche Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ mit Eigenschaft (*).

Die Umkehrung ist das eigentliche wichtige an dieser Aussage: Sie gestattet die Charakterisierung eines jeden primitiven pythagoräischen Tripels durch (*).

15.06.2009, 17:56

noname

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danke arthur, der tipp war super.

$\begin{eqnarray*} x^2 = (z - y)(z + y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z - y < z + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z - y = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z + y = x^2 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} 1, x, x^2 \end{eqnarray*}$ als teiler besitzt.

durch umformung komme ich dann auf das gewünschte ergebnis, vielen dank.

mit der charakterisierung werde ich mich jetzt mal auseinandersetzen...

15.06.2009, 18:51

noname

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also meine ergebnisse:

aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} x = 2rs , y = r^2 - s^2 , z = r^2 + s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> u = 2rs + r^2 - s^2 + r^2 + s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> u = 2rs + 2r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> u = 2r(r + s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> r = m , r + s = k \end{eqnarray*}$

mit den gewünschten eigenschaften...

aufgabe 3:

$\begin{eqnarray*} 2^n(2^{n-1} + 1) = 2 \cdot 2^{n-1}(2^{n-1} + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m = 2^{n-1} = r , k = 2^{n-1} + 1 = r + s , s = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_n = 2rs = 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_n = r^2 - n^2 = (2^{n-1})^2 - 1 = 2^{2n - 2} - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_n = r^2 + s^2 = (2^{n-1})^2 + 1 = 2^{2n - 2} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{x_n} = \frac{2^{2n - 2} - 1}{2^n} = \frac{2^{2n - 2} }{2^n} - \frac{1}{2^n} = 2^{n - 2} - \frac{1}{2^n} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{z_n}{x_n} = \frac{2^{2n - 2} + 1}{2^n} = \frac{2^{2n - 2} }{2^n} + \frac{1}{2^n} = 2^{n - 2} + \frac{1}{2^n} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{z_n}{y_n} = \frac{2^{2n - 2} + 1}{2^{2n - 2} - 1} = 1 \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ist einigermaßen leserlich und verständlich, und hoffentlich natürlich auch richtig smile

15.06.2009, 19:47

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Sieht soweit gut aus. Bleibt aber die Frage, ob du diese Aussage

Zitat:

unbewiesen benutzen darfst... verwirrt

15.06.2009, 20:00

noname

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Sieht soweit gut aus. Bleibt aber die Frage, ob du diese Aussage

Zitat:

unbewiesen benutzen darfst... verwirrt

wenn ich mich jetzt nicht ganz vertue, dann ist das der Satz von Diophantos und den habe ich bei uns im skript mit beweis gefunden, sollte also erlaubt sein.
dann bedanke ich mich für die hilfe und verabschiede mich mit mathematischen grüßen!

15.06.2009, 20:30

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Na wenn das so ist ... Freude

Ich hätte den Satz-Namen selbst genannt, wenn er mir eingefallen wäre. Aber wie ich an anderer Stelle im Board schon mal anmerkte: Ich hab ein sauschlechtes Gedächtnis für Bezeichnungen, aber ein umso besseres für dahinter stehende Inhalte. Big Laugh

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