Banachscher Fixpunktsatz |
| 15.06.2009, 17:10 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Banachscher Fixpunktsatz ich soll folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit überprüfen: 1) Ist (X,d) ein (i.A nicht vollständiger) metrischer Raum und T: X-->X eine starke Kontraktion. Dann gilt die Eindeutigkeitsaussage des Banachschen Fixpunktsatzes nicht mehr. Ich denke die Bedingung das der metrische Raum vollständig ist, wurde nur für den Beweis der Existenz eines Fixpunktes gebraucht und nicht für seine Eindeutigkeit. Ich bin hier etwas ratlos. 2) Eine nichtleere, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines Banachraumes ist bezüglich der Einschränkung der natürlichen Metrik ein vollständiger metrischer Raum. Ich denke die Aussage stimmt. Aus Abgeschlossenheit und Beschränktheit folgt, dass die Teilmenge kompakt ist, und aus Kompaktheit folgt auch direkt die Vollständigkeit. Ich versteh nur nicht so recht, was "bzgl. der Einschränkung der natürlichen Metrik" bedeutet. 3) Da man in einem kompakten metrischen Raum aus jeder Folge eine konvergente Teilfolge auswählen kann, hat jede stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes in sich einen Fixpunkt. Ich denke die Aussage ist falsch. Also es gibt ja stetige Abbildungen metrischer Räume in sich, mit keinem oder mehreren Fixpunkten. z.B: f(x)=x wäre doch eine stetige Abbildung mit unendlich vielen Fixpunkten von R->R oder nicht? Und wenn man sich jetzt ein kompaktes Intervall anguckt, z.B. [2,7], dann hat die Abbildung doch auch immer noch unendlich viele Fixpunkte, oder nicht? |
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| 16.06.2009, 00:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) Du denkst richtig.
Das ist falsch. In endlich-dimensionalen Banachräumen stimmt das, aber i.A. ist das falsch. Was aber stimmt, ist die Tatsache, dass eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums auch wieder vollständig ist. Mit Einschränkung ist einfach gemeint, dass du die Teilmenge mit der von der Metrik auf dem ganzen Raum induzierten Metrik versehen sollst. Zu 3): "Einen" bedeutet i.A. "mindestens einen" Fixpunkt, d.h. deine Antwort wäre auf diese Frage kein Gegenbeispiel. Betrachte aber mal auf die Punktspiegelung am Ursprung. Wie viele Fixpunkte hat die? |
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| 16.06.2009, 08:59 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du mit ? Die Einheitssphäre? |
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| 16.06.2009, 16:06 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Also, 1) ist falsch, wegen oben genannter Begründung 2) Ist richtig. Ein Beispiel dafür wäre doch auch wieder die Einheitsspäre oder? 3) Wenn die Einheitssphäre ist, hat die Punktspiegelung von am Ursprung keinen Fixpunkt, da jeder Punkt auf seinen gegenüberliegenden abgebildet wird. Also ist diese Aussage auch falsch. Stimmt das jetzt so? |
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| 16.06.2009, 18:52 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Vollständigkeit halber solltest du noch schreiben, warum eine Punktspiegelung eine stetige Abbildung ist. |
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| 16.06.2009, 22:09 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, allerdings muss man richtige Aussagen natürlich ganz allgemein beweisen. Da reicht die Angabe eines Beispiels ganz sicher nicht. |
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| 17.06.2009, 00:15 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Hilfe! Mir ist schon bewusst, dass das keine richtigen Beweise sind, ich sollte ja nur überprüfen, ob die Aussagen wahr oder falsch sind 
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