primefaktor gesucht

15.06.2009, 19:03

gabriel günthers

primefaktor gesucht

Hallo,

Ich habe hier noch eine Frage aus einem Intelligenztest (GMAT), die in circa 2 Minuten beantwortbar sein müsste. Ich finde wie immer keinen Ansatz, sie in der Zeit zu lösen. Vielleicht kann ja hier jemand helfen.

Für alle positiven, geraden ganzen Zahlen sei die Funktion $\begin{eqnarray*} h(n) \end{eqnarray*}$ definiert als das Produkt aller geraden, ganzen Zahlen von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der kleinste Primfaktor von $\begin{eqnarray*} h(100)+1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

a) zwischen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$
b) zwischen $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 20 \end{eqnarray*}$
c) zwischen $\begin{eqnarray*} 20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 30 \end{eqnarray*}$
d) zwischen $\begin{eqnarray*} 30 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 40 \end{eqnarray*}$
e) größer als $\begin{eqnarray*} 40 \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 19:14

IfindU

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RE: primefaktor gesucht
Das produkt ganzen Geraden von 2 bis n bedeutet $\begin{eqnarray*} 2^{n}(1*2*3*....*n/2) = 2^{n} \cdot (n/2)! \end{eqnarray*}$ mit n = 100 ergibt sich:
2^100 * 50!. Damit ist diese Zahl für alle Zahlen bis 50 teilbar; addiert man 1 fallen alle diese Faktoren als Primfaktoren weg, es muss also größer als 40 sein. So zumindest meine Idee.

15.06.2009, 19:49

gabriel günthers

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RE: primefaktor gesucht
der ansatz ist zu kompliziert, es muss einfacher gehen. das muss auch für nicht Mathematiker lösbar sein.

15.06.2009, 19:58

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Zitat:

Original von gabriel günthers
der ansatz ist zu kompliziert, es muss einfacher gehen

Unfug - einfacher geht's kaum. Falls du Formelallergiker bist, das ganze lässt sich auch verbal begründen, was aber vom reinen Kerngedanken aufs selbe hinausläuft wie das, was IfindU vorgebracht hat.

15.06.2009, 20:03

gabriel günthers

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Einfacher geht es kaum? Geht es noch einfacher oder nicht? Mir ist nicht ganz klar, wieso er darauf gekommen ist das Produkt der Zahlen so umzuschreiben mit zwei hoch n. Weiters sehe ich nicht wie dann alle Primfaktoren wegfallen, wenn man eins addiert. wenn eine zahl ein Produkt anderer Zahlen ist, und ich eins addiere, dann können doch immer noch bestimmte Teiler erhalten bleiben oder sehe ich das falsch?

15.06.2009, 20:13

IfindU

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Sagen wir du hast ein einfaches Produkt a*b, a und b seien Primzahlen. Nun addieren wir 1:
$\begin{eqnarray*} a \cdot b + 1 \end{eqnarray*}$

Nun sehen wir nach obs durch a oder b teilbar ist:
Durch a:
$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot b + 1}{a} \end{eqnarray*}$

gekürzt:
$\begin{eqnarray*} b +\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Nun kann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ keine ganze Zahl sein, da a Prim ist; damit ist der ganze Ausdruck nicht ganz, ergo kann a kein Teiler sein. Analog kann mans auch mit b machen. Damit sind (a*b) und (a*b+1) teilerfremd.

[Für mich persönlich: Reicht diese Argumentation für die Uni oder fehlt noch etwas?]

15.06.2009, 20:14

kiste

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Zitat:

Original von IfindU
[Für mich persönlich: Reicht diese Argumentation für die Uni oder fehlt noch etwas?]

Reicht vollkommen wobei man in der Uni dann wahrscheinlich auf die schönere Schreibweise des modulo-Rechnens zurückgreifen wird Augenzwinkern

15.06.2009, 20:15

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Also bitte, die verbale Variante für den Formelallergiker:

Angenommen, der kleinste Primfaktor $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist kleiner oder gleich 40. Dann ist $\begin{eqnarray*} 2p \end{eqnarray*}$ eine gerade Zahl kleiner oder gleich 80 und damit laut Definition ein Faktor im Produkt $\begin{eqnarray*} h(100) \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} h(100) \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Dann kann aber $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht wie angenommen auch durch die nur um Eins größere Zahl $\begin{eqnarray*} h(100)+1 \end{eqnarray*}$ teilbar sein, Widerspruch.

15.06.2009, 20:19

Jacques

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Hallo,

Eine Zwischenfrage nur:

Müsste es nicht so heißen:?

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n = 2^{\frac{n}{2}} \cdot \left(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Denn man hat ja n/2 Faktoren halbiert, die man „zum Ausgleich“ n/2-mal mit 2 multiplizieren muss.

15.06.2009, 20:23

IfindU

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@Jacques: Jop, müsste es, mein Fehler
@Arthur: Musst du eigentlich immer ne elegantere Lösung als ich haben? Augenzwinkern

und
@Kiste: Danke fürs Feedback, mir fehlt nur leider noch die modulo-Rechnung, wird sich aber bald ändern.

15.06.2009, 20:25

jester.

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- Hier stand Off-Topic-Kram -

15.06.2009, 20:27

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Zitat:

Original von IfindU
@Arthur: Musst du eigentlich immer ne elegantere Lösung als ich haben? Augenzwinkern

Die ist nicht eleganter, die beinhaltet genau dasselbe - nur in (ich hoffe mal) verständlicheren Worten für Nicht-Mathematiker. Aber das bleibt abzuwarten, ob dem so ist.

15.06.2009, 21:31

Dr. Klan

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Zitat:

Original von Arthur Dent
was aber vom reinen Kerngedanken aufs selbe hinausläuft wie das, was IfindU vorgebracht hat.

Allerdings auch nur vom reinen Kerngedanken, denn der Faktor $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ passt ja nicht so ganz.

15.06.2009, 21:44

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Warum wohl ist der Fehler mit dem $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 2^{n/2} \end{eqnarray*}$ oben so spät aufgefallen? Weil diese Zweierpotenz für die nötigen Teilbarkeitsbetrachtungen ohne Belang ist - wichtig ist der "andere" Faktor.

15.06.2009, 23:02

gabriel günthers

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Danke, jetzt habe ich es verstanden!

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