Volumenintegral bei dem 0 rauskommt

15.06.2009, 19:05

barthcar

Volumenintegral bei dem 0 rauskommt

Hi Leute,

ich habe folgende Aufgabe die mich etwas frustriert:

Man bestimme die Masse desjenigen Körpers, der von den Flächen $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-y-z=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.
Für die Dichte $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ gelte:
$\begin{eqnarray*} \rho (x,y,z)=3(x^2+y^2)z \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun das Volumen berechnen möchte, komme ich auf folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{x-y}dzdydx \end{eqnarray*}$ .

Wenn man das ausrechnet kommt aber Null raus. Was ist falsch? Sind es die Grenzen.

Danke im Vorraus!

Carlo

15.06.2009, 19:52

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Zitat:

Original von barthcar
Wenn man das ausrechnet kommt aber Null raus. Was ist falsch? Sind es die Grenzen.

Ja, und zwar die obere Grenze des innersten z-Integrals. Da sollte $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\max\{x-y,0\}} \end{eqnarray*}$ stehen.

16.06.2009, 18:59

barthcar

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Hi Arthur,

erstmal danke für deine Hilfe.
Wenn ich dann erstmal das Maximum mit Hilfe der Lagrange'schen Multiplikatoren berechne, erhalte ich dafür $\begin{eqnarray*} z=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und drei andere Punkte die entfallen. Damit ergibt sich dann das neue Integral mit:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}\int_{0}^{2\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}dydzdx \end{eqnarray*}$

Wenn man das weiter macht komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=4\sqrt{2}\cdot \left[\frac{1}{2}(x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin \frac{x}{2}\right]_{-2}^{2}=8\sqrt{2}\pi \end{eqnarray*}$

Das ist aber irgendwie nicht richtig, da ein Freund über die Formel für den Zylinderstumpf auf des Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ kam. Was ist jetzt richtig und was ist falsch, bzw. was mache ich falsch. Vielen Dank

Carlo

16.06.2009, 19:08

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Zitat:

Original von barthcar
Wenn ich dann erstmal das Maximum mit Hilfe der Lagrange'schen Multiplikatoren berechne, erhalte ich dafür $\begin{eqnarray*} z=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und drei andere Punkte die entfallen. Damit ergibt sich dann das neue Integral mit:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}\int_{0}^{2\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}dydzdx \end{eqnarray*}$

Du kannst doch nicht einfach das Maximum nehmen und dann annehmen, dass die Figur ein Zylinder mit einer Höhe ist, die diesem Maximum entspricht. unglücklich

Nein, dieser Körper entsteht, in den man aus einem Zylinder mit einer zur Grundfläche schrägen Ebene etwas abtrennt.

16.06.2009, 19:22

barthcar

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Da hast du natürlich recht, sowas habe ich mir schon gedacht. Aber wie rechne ich das dann? Könntest du mir da noch nen Tipp geben?
Wie kriege ich das denn in das Integral rein?

Carlo

16.06.2009, 19:27

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Hast du denn mal eine Skizze vom xy-Integrationsgebiet gemacht? Damit meine ich nicht nur den Kreis, sondern auch die Gerade, wo die obere Begrenzungsebene $\begin{eqnarray*} x-y-z=0 \end{eqnarray*}$ die Zylindergrundebene $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ schneidet. Das müsste dich eigentlich auf eine richtige Variante bringen.

16.06.2009, 19:40

barthcar

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Also ich weiß natürlich wie der Körper aussieht und ich habe das auch schon skizziert. Aber ich komme beim besten willen nicht drauf wie ich diesen Sachverhalt, dass etwas schräg weggeschnitten ist, meinen Integrationsgrenzen verklickere Augenzwinkern

Ein kleiner Tipp vielleicht?

16.06.2009, 19:50

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ohne Worte...

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} ~ \int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^x ~ \int\limits_{0}^{x-y} ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x ~ + ~ \int\limits_{\sqrt{2}}^2 ~ \int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} ~ \int\limits_{0}^{x-y} ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$

16.06.2009, 20:00

barthcar

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RE: ohne Worte...
Okay,...

da wäre ich leider nie drauf gekommen und ich verstehe es auch nicht wirklich. Aber trotzdem erstmal danke! Hab sowieso grad etwas nachholbedarf und muss mir das dann einfach nochmal angucken.

Und wenn ich jetzt die Masse haben will integriere ich einfach mit diesem Integral über die Gleichung für die Dichte, ja?

Dankeschön!

Carlo

16.06.2009, 20:04

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RE: ohne Worte...

Zitat:

Original von barthcar
trotzdem erstmal danke

http://www.matheboard.de/profile.php?userid=4114

16.06.2009, 20:08

barthcar

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RE: ohne Worte...
Wenn du dass von mir denkst muss ich dich leider enttäuschen, weil es auf mich rein garnicht zutrifft!!!!!!!!

Ich bin für deine Hilfe sehr sehr dankbar und es tut mir leid wenn ich das nicht zum Ausdruck gebracht habe. Momentan liegt es anscheinend einfach nicht in meinem Möglichkeitsbereich dass so schnell zu verstehen. Bitte interpretiere das nicht falsch. Ich bin momentan und auch in Zukunft immer dabei die Sachen nachzuvollziehen, denn ich will es verstehen.

Manchmal geht das aber einfach nicht so schnell wie euch schlauen Leuten das lieb ist, das habe ich hier schon des öfteren bemerkt.

Carlo

16.06.2009, 20:12

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Das ändert nichts daran, dass ich auf dieses "trotzdem danke" gern verzichte.

P.S.: Wie würdest DU denn das Integral über den eingezeichneten Halbkreis berechnen? Als ob die von mir gezeigte Aufteilung so ungewöhnlich wäre - nein, sie ist folgerichtig. Aber wenn du keine Skizze machst, kann es auch nichts werden.

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