Integral

15.06.2009, 20:13

FabiB

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Integral

Hallo, bitte um Hilfe bei folgender Integrationsaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~x^2*e^{-x/2}~dx \end{eqnarray*}$

Bitte welche Regeln muss ich benutzen, ich habe es mit partieller Integration versucht.

Ich glaube das Problem fängt da schon an, dass ich nichtmal e^(-x/2) integrieren kann.

15.06.2009, 20:26

IfindU

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RE: Integral
Partielle ist schon richtig.
Vlt hilft dir die einfache Umschreibung:
$\begin{eqnarray*} e^{-x/2} = e^{\frac{-1}{2}x} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 20:37

FabiB

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RE: Integral
ehrlichgesagt nein, könntst du mir vielleicht den ersten schritt für die partielle integration deutlich machen?

15.06.2009, 20:42

IfindU

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RE: Integral
Da du das ganze 2 mal machen musst, schreib ich dir mal die ersten Schritte auf:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-x/2} \\ g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Die Wahl muss so gefällt werden, dass die x^2 abgeleitet und die e-Funktion integriert wird (andersherum steigerst du die Potenz immer um einen statt sie zu verringern).

$\begin{eqnarray*} \int~f'(x)g(x)~dx = f(x)g(x) - \int~f(x)g'(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun setzt du quasi nur noch ein, da du nicht weißt wie du e integrieren sollst:
$\begin{eqnarray*} \int~e^{-x/2}~dx = \frac{e^{-x/2}}{-1/2} = -2 \cdot e^{-x/2} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 20:44

FabiB

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RE: Integral
Habe es versucht und komme auf:

$\begin{eqnarray*} -4(2e^{-1}-2e^{-1}-2) = 8 \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 20:48

IfindU

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RE: Integral
Ich hab Derive drüber rechnen lassen und er kommt auf ein (deutlich) anderes Ergebnis, schreib am besten hier die Schritte auf (oder fotografier deine Rechnung, auch wenn das hier aufgrund der mangelden Fotoqualität und der häufig grässlichen Schrift der Schüler nicht allzugerne gesehen wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

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15.06.2009, 20:52

FabiB

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RE: Integral
naja ich probiers wohl nochmal wenn es falsch ist.

$\begin{eqnarray*} \int~f'(x)g(x)~dx = f(x)g(x) - \int~f(x)g'(x)~dx \end{eqnarray*}$

bei der Formel die ich verwendete stand das mittlere f(x)g(x) in eckigen Klammern mit den grenzen 0 und 2 drangeschrieben.
Deswegen habe ich am ende daraus die Differenz gebildet ist das richtig gewesen?

15.06.2009, 20:54

IfindU

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RE: Integral
Das stimmt, aber du musst das rechte Integral noch ausrechnen.

15.06.2009, 20:57

FabiB

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RE: Integral
für das rechte kriege ich :

$\begin{eqnarray*} 4(-2e^{-x/2}) \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 21:05

IfindU

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RE: Integral
Hab mal nachgerechnet, das stimmt nicht so ganz, denn da fehlt ein x und es schließt sich wieder ein Integral an, was diesmal ab ohne partielle Integration gelöst werden kann und die Aufgabe schon fast beendet ist.

Als Kontrollergebnis:
$\begin{eqnarray*} \int~x^2e^{-x/2}~dx = -2x^2e^{-x/2} - 8xe^{-x/2} - 16e^{-x/2} \end{eqnarray*}$

Das ließe sich noch durch Ausklammern zusammenfassen, aber da du das rohe Ergebnis bekommen solltest, hab ichs mal hingeschrieben.

15.06.2009, 21:11

FabiB

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RE: Integral
ich hatte wohl x^2 falsch abgeleitet (x vergessen)

habe jetzt für die rechte seite 16 * e^(-x/2) heraus...

15.06.2009, 21:16

IfindU

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RE: Integral
Dann passt das ja jetzt alles bis auf ein Vorzeichen, Grenzen einsetzen kannst du bestimmt auch ohne Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2009, 21:19

FabiB

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RE: Integral
habe jetzt noch einmal von vorne gerechnet und naja...

es passt ganz gut bis auf eine 32 statt deiner 16 :P

also schonmal vielen dank für die ganze Mühe die du dir hier machst. hast mir echt schon viel weitergeholfen.

Mal eine Frage, hier bei wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration

findet sich diese Formel mit der eckigen klammer.

ist das egal ob ich das so mache oder erst das komplette Integral bestimme und dann die grenzen einsetze?

15.06.2009, 21:25

IfindU

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RE: Integral
Jop, ist egal. Spontan könnte ichs nicht beweisen aber es kam bisher immer das richtige raus (schwaches Argument, ich weiß)

Edit: hat etwas gedauert, aber ich glaube wie mans zeigen kann: Man setzt die Grenzen so wies auf Wikipedia ist, rechnet es aber nicht aus. Man sortiert dann die mit den Grenzen 2 sind und die mit der Grenze 0 zusammen und man kann wieder die neue Grenzenschreibweise verwenden, was beweist dass es egal ist ob man ständig die Grenzen einsetzt oder erstmal die komplette Stammfunktion aufstellt.

19.06.2009, 17:27

FabiB

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RE: Integral

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \int~e^{-x/2}~dx = \frac{e^{-x/2}}{-1/2} = -2 \cdot e^{-x/2} \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt bei einer anderen Aufgabe wieder auf genau das selbe Problem gestoßen.

Könnte mir jemand bitte erklären wie dieses hier integriert wird?

19.06.2009, 19:29

IfindU

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RE: Integral
Wenn der Exponent linear vorliegt (also in der Form ax+b) reicht es durch die Ableitung des Exponenten zu teilen und schon hat man das Integral.

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