DGL 2.Ordnung, linear, inhomogen

15.06.2009, 23:33

Vincent Vega

DGL 2.Ordnung, linear, inhomogen

Hallo Mathematiker,

ich habe ein Problem bei einer Probeklausuraufgabe:

$\begin{eqnarray*} y^{2}-2y^1+10y=xe^{3x} + 2e^{3x} \end{eqnarray*}$

Hier unterscheidet man ja 3 verschiedene Fälle:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} b(x)= C*e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} b(x)=C*sin(\beta x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C*cos(\beta x) \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} b(x)=p(x)*e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabeoben liegt Fall 1 und Fall 3 vor.

Auf die Lösung von Fall 1 komme ich (2e^3x):

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - \lambda + 10 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann bekommt man 2 komplexe NS raus:

$\begin{eqnarray*} 1\pm 3i \end{eqnarray*}$

Dann heißt die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x)= e^{x}* \sin(3x)*C1 + e^{x}* \cos(3x)*C2 \end{eqnarray*}$

So jetzt zum zweiten Term xe^{3x}:

Das macht man ja dann mit Fall 3.

$\begin{eqnarray*} yp(x)= x* e^{3x} \end{eqnarray*}$

Dann die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} y^1p(x)= e^{3x} + 3x* e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2p(x)= 3e^{3x}+3e^{3x}+9x* e^{3x} \end{eqnarray*}$

So und hier weiß ich nicht mehr weiter hab schon einiges versucht, um auf die Lösung zu kommen.

Lösung: $\begin{eqnarray*} y(x)=C1* e^{x}*cos (3x)+C2* e^{x}*sin(3x)+ \left(\frac{1}{13}+\frac{22}{169}\right)* e^{3x} \end{eqnarray*}$

15.06.2009, 23:41

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Zitat:

Original von Vincent Vega
$\begin{eqnarray*} yp(x)= x* e^{3x} \end{eqnarray*}$

Na besser gleich

$\begin{eqnarray*} y_p(x)= (ax+b) \cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$

an- und dann einsetzen, anschließend $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ per Koeffizientenvergleich bestimmen.

15.06.2009, 23:54

Vincent Vega

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Ah okay dann schau ich immer auf die höchste potenz von p(x)

Wenn da (x^4+x^3+..........) stehen würde, müsste ich schreiben

$\begin{eqnarray*} (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)*e^{3x} \end{eqnarray*}$

oder???

Ach ja vielen Dank für die schnelle Antwort.....................

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