Vorzeichenwechsel-Kriterium: Notwendige Bedingung schon enthalten?

16.06.2009, 05:31

Jacques

Vorzeichenwechsel-Kriterium: Notwendige Bedingung schon enthalten?

Hallo,

Muss bei dem VZW-Kriterium für lokale Extrempunkte die notwendige Bedingung f'(x0) = 0 ausdrücklich erwähnt werden? Oder folgt diese Eigenschaft schon aus dem Vorzeichenwechsel?

Einen VZW selber definiere ich so:

Eine Funktion f mit $\begin{eqnarray*} D_f \supseteq U_{\varepsilon}(a) \quad (\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}) \end{eqnarray*}$ hat bei a genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn $\begin{eqnarray*} f\mathord{]{a}; {a +\varepsilon}[} \gtrless 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\mathord{]{a -\varepsilon};{a}[} \lessgtr 0 \end{eqnarray*}$

Also alle Funktionswerte links von a sind positiv, die rechts von a negativ – oder umgekehrt. Der Funktionswert an der Stelle a selber spielt keine Rolle.

Meiner Meinung nach reicht es aus, das VZW-Kriterium so zu formulieren:

Eine Funktion f mit $\begin{eqnarray*} D_f \ni a \end{eqnarray*}$ , die in einer Umgebung von a definiert und differenzierbar ist, hat dann ein Extrempunkt bei a, wenn f' einen Vorzeichenwechsel bei a hat.

Den Zusatz f'(a) = 0 würde ich weglassen, denn f'(a) =/= 0 müsste durch den VZW doch eigentlich ausgeschlossen sein:

Wäre f'(a) positiv, dann wären in einer Umgebung von a die Funktionswerte links von a kleiner als f(a) und rechts von a größer als f(a). Also findet man nach dem Mittelwertsatz in jeder Umgebung von a links und rechts Stellen mit positiver Ableitung – was ja dem VZW-Kriterium widerspricht. Bei f'(a) < 0 genau dasselbe. Also muss f'(a) doch schon zwangsläufig 0 sein? Oder habe ich da irgendeinen Denkfehler gemacht?

verwirrt

16.06.2009, 08:42

Cordovan

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Höchstens, dass der Zwischenwertsatz nur für stetige Funktionen gilt. f' muss aber nicht stetig sein.

Cordovan

16.06.2009, 10:35

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@Jacques

Du kannst sogar noch weiter gehen, und in einer Art "erweiterten" VZW-Kriterium ganz auf die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ verzichten - in dem Fall musst du dann allerdings wenigstens Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fordern.

Das würde dann sogar sowas wie die Minimumstelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ der Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ abdecken. Augenzwinkern

16.06.2009, 18:31

Jacques

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Danke für Eure Antworten. Freude

Zitat:

Original von Cordovan

Höchstens, dass der Zwischenwertsatz nur für stetige Funktionen gilt. f' muss aber nicht stetig sein.

Hm, aber den Mittelwertsatz wende ich noch auf die Ausgangsfunktion f an, und die ist in einer Umgebung von a differenzierbar. Also müssten die Voraussetzungen eigentlich reichen.

Ich merke auch gerade, dass der Mittelwertsatz sowieso unnötig ist, weil aus dem „abgeschwächten“ VZW-Kriterium schon die Extremwert-Eigenschaft folgt. Also

„abgeschwächten“ VZW-Kriterium => Extremwert (nach dem Ableitungskriterium für Monotonie) => f'(a) = 0

Zitat:

Original von Arthur Dent

Du kannst sogar noch weiter gehen, und in einer Art "erweiterten" VZW-Kriterium ganz auf die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ verzichten - in dem Fall musst du dann allerdings wenigstens Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fordern.

Alles klar. smile

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