Dichte der Johnson-Verteilung

16.06.2009, 11:30	baron03	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte der Johnson-Verteilung Hallo, kennt jemand die Dichtefunktion der Johnson-Verteilungen (Typ1 und Typ2, siehe unten)? Oder kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich aus den folgenden Beziehungen die Dichtefunktion herleiten kann? Sei Z eine N(0,1)-verteilte ZV. Dann sind $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ wie folgt verteilt: $\begin{eqnarray} X_1=c+d\text{ }exp\Big(\frac{Z-a}{b}\Big) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_2=c+d\text{ }sinh\Big(\frac{Z-a}{b}\Big) \end{eqnarray}$ a,b,c,d sind reelle Zahlen und ich möchte die Dichten $\begin{eqnarray} f_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2(x) \end{eqnarray}$ berechnen. Mein Ansatz ist: Für die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} F_1(x)=P(X_1\leq x)=P\big(c+d\text{ }exp(\frac{Z-a}{b})\leq x\big)=...=P\big(Z\leq a+b\text{ }ln(\frac{x-c}{d})\big)\\=\int_{-\infty}^{a+b\text{ }ln(\frac{x-c}{d})}{exp(-\frac{1}{2}t^2)}dt \end{eqnarray}$ Jetzt muss wahrscheinlich irgendwie transformiert werden damit in der oberen integrationsgrenze nur z.B. "y" steht. Da hört es aber leider bei mir auf. Das ganze müsste dann auch analog für $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ gehen nur das exp durch sinh und ln durch arsinh ersetzt wird. Vielen dank für eine hilfe!
16.06.2009, 11:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Johnson-Verteilung? Nie gehört, aber das will nichts besagen. Jedenfalls ist $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ im Fall $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ nichts weiter als eine logarithmische Normalverteilung. Bei $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ist eine solche Deutung allerdings nicht möglich. Deine Umformungen sehen ganz gut aus (mit Ausnahme des abschließeden Integrals, wo ein Vorfaktor fehlt), sofern $\begin{eqnarray} b>0,d>0 \end{eqnarray}$ gilt, wovon ich mal ausgehen. Schreib es doch besser gleich mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ und Dichte $\begin{eqnarray} \varphi=\Phi' \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung: $\begin{eqnarray} F_1(x) = P\left( Z\leq a+b\ln\left( \frac{x-c}{d} \right) \right) = \Phi\left( a+b\ln\left( \frac{x-c}{d} \right) \right) \end{eqnarray}$ Dann ableiten, unter Beachtung der Kettenregel: $\begin{eqnarray} f_1(x) = F_1'(x) = \varphi\left( a+b\ln\left( \frac{x-c}{d} \right) \right) \cdot \frac{\dd}{\dd x}\left( a+b\ln\left( \frac{x-c}{d} \right) \right) \end{eqnarray}$ usw.
16.06.2009, 12:27	baron03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke erstmal für die schnelle Hilfe. b,d>0 ist klar, habe ich vergessen aufzuschreiben und den Vorfaktor von N(0,1) auch, sorry. wenn ich deine Gleichung fortsetze, habe ich: $\begin{eqnarray} f_1(x)=F'_1(x)=...=\varphi\Big(a+b\text{ }ln(\frac{x-c}{d})\Big)\Big(\frac{b}{x-c}\Big)\\=\frac{b}{(x-c)\sqrt{2\pi}}\text{ }exp\Bigg(-\frac{\big(a+b\text{ }ln(\frac{x-c}{d})\big)^2}{2}\Bigg) \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht ob es Sinn macht das noch weiter auszurechnen?! Für $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ müsste genau das gleiche ergebnis herauskommen nur statt ln mit arsinh, oder?! PS: Johnson-Verteilungen ist eine Familie von verallgemeinerten Verteilungen, die bei bestimmter Parameter-Wahl in sehr viele Verteilungen überführt werden können. Anwendungen in Finanzmathematik, Klimaberechnungen... Bei Interesse siehe N.L. Johnson (1949): "Systems of frequency curves generated by methods of translation"

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