Wahrscheinlichkeit für eine gegebene Würfelaugensumme

16.06.2009, 16:32

Martin27

Wahrscheinlichkeit für eine gegebene Würfelaugensumme

Hallo zusammen!

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Es werde einmal mit 5 (Laplace-)Würfeln gewürfelt. Dabei werde die Augensumme ermittelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 15 ist?

Ist diese Aufgabe auch rechnerisch anstatt durch Auflisten und Auszählen der möglichen Kombinationen lösbar?

16.06.2009, 16:42

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Ja.

16.06.2009, 18:27

Martin27

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In meinem Falle errechne ich damit:

$\begin{eqnarray*} S(16,6,5)=\sum_{k=0}^{\min \left\{5, \left\lfloor \frac{15}{6+1} \right\rfloor \right\}}~(-1)^k \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15-(6+1)k+5-1 \\ 5-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\min \left\{ 5 , 2 \right\}}~(-1)^k \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 19-7k \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 19 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot 3876 - 5 \cdot 495 + 10 \cdot 5 = 1451 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die 5-Tupel per Hand aufschreibe komme ich auf folgende 18:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	66111 55311 44421 33333 65211 55221 44331 64311 54411 44322 64221 54321 43332 63321 54222 63222 53331 53322

Muss ich für jede dieser Kombinationen noch die Anzahl der Permutationen berstimmen und diese addieren um auf die 1451 5-Tupel zu kommen?

16.06.2009, 18:32

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Mehrere Fehler:

Zum einen hast du die Formel falsch angewandt - ich hatte im verlinkten Beitrag bereits darauf hingewiesen, dass man die Formel auf Würfelaugenzahl MINUS EINS anwenden muss. Im Klartext: Es geht um $\begin{eqnarray*} S(15-5,6-1,5) = S(10,5,5) \end{eqnarray*}$ .

Zum anderen musst du deine 18 Varianten auch noch in sämtlichen Permutationen zählen, um auf die richtige Laplacesche Wahrscheinlichkeit zu kommen.

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