Matrix Orthogonalprojektion

16.06.2009, 18:31

Max Simon

Matrix Orthogonalprojektion

Schon wieder eine Frage...

Also gegeben ist eine Orthonormalbasis des IR^n: $\begin{eqnarray*} B=(b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ sowie ein Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U = Lin(b_1,...,b_k), k<n \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun die Matrix der Orthogonalprojektion $\begin{eqnarray*} w_U :\mathbb R ^{n} --> U \end{eqnarray*}$ bezüglich der Standardbasis des IR^n.

Also die Matrix P der Projektion w(v)=Pv sieht ja folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei sind es nur die ersten k Spalten/Zeilen, welche eine 1 in ihrer Diagonale haben; alles andere ist 0.

Diese Matrix ist doch nun jedoch bezüglich der Basis B.
Ich müsste sie also irgendwie transformieren, damit der Bezug zur Standardbasis hergestellt wird.

Erst dachte ich an die ganz normale Basistransformation, hab dazu die Basisvektoren aus B mit w abgebildet: $\begin{eqnarray*} w_U(b_i) = P*b_i=\begin{pmatrix} b_{i1} \\ ... \\ b_{ik} \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} , i=1, ..., n \end{eqnarray*}$ und diese Bilder als Linerkombination der Standardbasis des IR^n dargestellt:
$\begin{eqnarray*} w_U(b_i) = \sum_{j=1}^k~b_{ij}*e_j + \sum_{j=k+1}^n~0*e_j \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ die j-te Koordiante des i-ten Basisvekors und $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ der j-te Einheitsvektor ist.

Damit erhalte ich dann eine Art Übergangsmatrix, deren i-te Spalte aus den $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ besteht. Ab der (k+1)-ten Zeile stehen dann da nur noch Nullen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & ... & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & ... & b_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{1k} & b_{2k} & ... & b_{nk} \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit sogut. Ich komm nicht weiter...
Und ich bin mir auch nicht sicher, ob das der richtige Ansatz ist.

Kann bitte jemand helfen?

Danke

LG Max

16.06.2009, 18:41

tigerbine

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Rückfrage
Wenn dein P richtig ist, dann ist das die gesuchte Matrix bzgl. der Basis B. Also formal $\begin{eqnarray*} P_B^B \end{eqnarray*}$ Nun möchtest du aber als Input einen Vektor bzgl. der Standardbasishaben. Was soll denn als Output rauskommen? Vektor Dimension k oder Vektor Dimension n von dem man eben weiß, dass er nur in U liegen kann?

16.06.2009, 19:23

Max Simon

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RE: Rückfrage
Tja, so richtig weiß ich das auch nicht.

Wir haben die Orthonormalbasis B (des IR^n) gegeben und den Untervektorraum U. Nun sollen wir die Matrix der Orthogonalprojektion auf U bezüglich der Standerdbasis angeben.

Dies ist die Aufgabenstellung - weitere Angaben gibt es nicht.

Also ich gehe mal davon aus, dass man als input einen Vektor des IR^n bezüglich der Basis B hat.
Sei $\begin{eqnarray*} E = (e_1,e_2,...,2_n) \end{eqnarray*}$ die Standardbasis des IR^n.

Dann ist zum Beispiel der Punkt (1,1) im IR^2 bzgl B gleich dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} (b_{11}+b_{21},b_{12}+b_{22}) \end{eqnarray*}$ bzgl E.

Als Output hat man dann, denke ich, einen (Orts-)Vektor bzgl der Stadardbasis des IR^n. Dieser Vektor ist das Resultat der Orthogonalprojektion des "Input-Vektors".

P müsste soweit richtig sein, aufgrund der Definition von U.

Kann es tatsächlich sein, dass mein bisheriges Endergebnis die gesuchte Matrix ist?

16.06.2009, 19:27

tigerbine

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RE: Rückfrage
Sei wiki meine Quelle. Dann würde ich sagen, wir suchen als Bild einen Vektor der Länge n.

Also ist imho nur ein Basiswechsel nötig. http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=186363. Schön ist, dass wir eine Orthonormalbasis haben. Weiß du warum mich das freut? Augenzwinkern

(wir müssen ja 2mal die Basis wechseln)

16.06.2009, 21:54

Max Simon

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RE: Rückfrage
naja neben dem Basiswechsel muss man ja auch noch die Orthogonalprojektion verwenden, oder etwa nicht?

Also ich versuch mal mir das Vorgehen klarzumachen:

1. Wir projezieren jeden Basisvektor auf U, in dem alle Koordinaten ab k+1 Null werden. Damit ist dann die Orthogonalprojektion vollzogen. Die entsprechende Übergangsmatrix ist meine Matrix P.

2. Die "neuen Vektoren" sind nun noch bezüglich U (also bezüglich der Elemente von U, welche auch eine Basis B' darstellen) dargestellt. Wir wollen sie bezüglich E darstellen.
Also muss wieder eine Basistransformation vorgenommen werden.
Dazu muss ich e1, ..., en (Einheitsvektoren) als Linearkombination der neuen Basisvektoren von B' darstellen. Dies geht nicht, weil B' weniger Elemente als E hat.
Weil B' Teilmenge von B kann ich doch auch sagen, dass die "neuen Vektoren" immernoch durch B darstellbar sind (Die letzten Skalare sind dann halt 0).
Ich muss also e1, ..., en als LK von b1, ... ,bn darstellen:

e1 = p1*b1 + p2*b2 + ... + pn*bn
e2 = q1*b1 + q2*b2 + ... + qn*bn
.................................................
en = z1*b1 + z2*b2 + ... + zn*bn

Die Faktoren p1,...,pn bilden die erste Spalte der Übergangsmatrix, q1,...,qn die zweite Spalte, ..., z1,...,zn die n-te Spalte.

Ist das denn soweit korrekt?

Wenn ja, wie geht es weiter?

Ich habe nun eine Matrix für die Orthogonalprojektion P und eine weitere Übergangsmatrix, sagen wir A, für den Basiswechsel von B zu E.

Um jetzt einen nichtprojezierten, durch B dargestellten Vektor v (Input) in einen orthogonalprojezierten, durch E dargestellten Vektor w (Output) zu überführen, muss ich die Matrizen A und P multiplizieren? Weil P zuerst ausgeführt wird, gilt dann w = (AP)v?

AP ist dann die gesuchte Matrix?

Wenn an dem Vorgehen was falsch ist, bitte korrigiert mich und sagt vielleicht auch, wie es richtig geht?

16.06.2009, 22:11

tigerbine

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RE: Rückfrage
Also es führen 2 Wege zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} p_v^B = P_B^Bv_B \end{eqnarray*}$

p für projizierter Vektor, P Projekttionsmatrix, v Vektor, der projiziert werden soll. Das ist nun alles bzgl. der Basis B. Die möge so aussehen, in Koordinatenvektoren bzgl. der St.-EB E

$\begin{eqnarray*} b_i = \begin{pmatrix} b_{1i} \\ \vdots \\ b_{ni}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} b_i = b_{1i}e_1 + ... + b_{ni}e_n \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich, vergleiche Workshop die Matrix S

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix}b_{11} & \hdots & b_{n1} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \hdots & b_{nn} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} | & & | \\ b_1 & \hdots & b_n \\ | & & | \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die Matrix T gilt:

$\begin{eqnarray*} T=S^{-1} \end{eqnarray*}$

Invertieren ist ja nun meistens was kompliziertes. Aber ich habe mich ja vorhin schon gefreut. Warum? Augenzwinkern

Und dann können wir auch den zweiten Weg gehen, den du ja angeben sollst.

16.06.2009, 22:36

Max Simon

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RE: Rückfrage
Weil wir eine Orthogonalbasis haben, ist auch die Matrix S orthogonal und daraus folgt $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^{T} \end{eqnarray*}$ .

Bei S hast du dich glaube ich verschrieben.

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{n1} \\ ... & ... & ... \\ b_{1n} & ... & b_{nn} \end{pmatrix}^{T} \end{eqnarray*}$

Somit folgt $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{n1} \\ ... & ... & ... \\ b_{1n} & ... & b_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir machen also erst den Basisübergang, bevor wir orthogonal projezieren?

16.06.2009, 22:44

tigerbine

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RE: Rückfrage
Ja, ist ein Schreibfehler. Aufmerksam gelesen Freude

Wir machen nicht nur einen, sondern 2 Basiswechsel. Im Grunde so etwas..

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Hier also (S und T mögen vom WS abweichen. Sollen Basiswechsel in Urbild und Bildraum darstellen. Bei uns ist das beide Male nur S. M1 ist die Projektion bzgl. EB, M2 bezgl. B.

$\begin{eqnarray*} P_E^E = SP_B^BS^{-1} = SP_B^BS^T \end{eqnarray*}$

16.06.2009, 22:55

Max Simon

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RE: Rückfrage

Zitat:

Original von tigerbine
Wir machen nicht nur einen, sondern 2 Basiswechsel. Im Grunde so etwas..

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Nun nochmal zum Verständnis: B1 ist hier E, B2 ist B, S und T sind beide unser S.
Was heißt WS?

Die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} P_E^E \end{eqnarray*}$ kann ich nachvollziehen.
Ich dachte nur, wir suchen $\begin{eqnarray*} P_B^E \end{eqnarray*}$ , weil die Vektoren, die wir eingeben doch eine Linearkombination der Basisvektoren von B sind. Wieso sollten sie durch E dargestellt werden?

$\begin{eqnarray*} P_B^E=TP_B^B=SP_b^B \end{eqnarray*}$

16.06.2009, 22:59

tigerbine

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RE: Rückfrage

Zitat:

Gesucht ist nun die Matrix der Orthogonalprojektion $\begin{eqnarray*} w_U :\mathbb R ^{n} --> U \end{eqnarray*}$ bezüglich der Standardbasis des IR^n.

Deswegen habe ich $\begin{eqnarray*} P_E^E \end{eqnarray*}$ gedacht.

Richtig übersetzt. WS=Workshop, den ich am Anfang verlinkt hatte.

16.06.2009, 23:05

Max Simon

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RE: Rückfrage
ja, so stehts auch in der Aufgabenstellung.
Ich dachte, das heißt einfach nur, dass der Output in E sein muss, die reinkommenden Vektoren aber noch in B sind.
Schwer zu sagen, was gemeint ist, aber da nur von der Standardbasis die Rede ist, ist wohl anzunehmen, dass sich alles in E abspielen soll.
Ich denke mal, du hast recht.

Schonmal vielen, vielen Dank für deine schnelle und sehr gute Hilfe!!! Freude

16.06.2009, 23:07

tigerbine

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RE: Rückfrage
Gerne. Kannst ja das Diagramm angeben. Die schöne inverse Bleibt ja, und wenn nur ein Teilpfad gemeint sein sollte, kann man den ja auch direkt ablesen.

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Matrix Orthogonalprojektion

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