Grenzwert mit Betrag

16.06.2009, 21:00

Tarsuinn

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Grenzwert mit Betrag

Hallo,

hab hier eine LHospital Aufgabe, also den GW bestimmen. Dabei stören mich zwei Sachen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{ln|\sin(x)|}{ln|\tan(x)|} \end{eqnarray*}$

Man müsste doch nun den linkseitigen und den rechtsseitigen GW bestimmen, bzw. einen Fallunterscheidung machen?

Und zum anderen wenn ich da

$\begin{eqnarray*} ln|\sin(x)| \end{eqnarray*}$

für das x die 0 einsetzen hätte ich ja den ln von 0 was nicht definiert ist, oder denke ich da falsch?

MfG

16.06.2009, 21:28

Zizou66

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Zitat:

Man müsste doch nun den linkseitigen und den rechtsseitigen GW bestimmen, bzw. einen Fallunterscheidung machen?

Wieso möchtest du das machen? Der Logarithmus ist doch für x<0 gar nicht definiert.

Ich schlage entgegen der Anwendung von L'Hopital eine Umformung vor:

Verwende, dass

$\begin{eqnarray*} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$ ist.

16.06.2009, 21:31

Leopold

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Natürlich ist der Logarithmus von 0 nicht definiert. Das ist ja gerade der Witz. Und aus diesem Grund sollst du ja den Grenzwert berechnen. Und das ist hier einfacher, als du denkst: Verwende im Nenner die Definition des Tangens und ein Logarithmusgesetz, kürze dann den Bruch durch den Zähler. Dann kann man alles ablesen. Den Betrag kannst du mitschleppen, er stört nicht.

16.06.2009, 21:59

Tarsuinn

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Ah ok, einfach zu kompliziert gedacht. Manchmal ist Mathe doch einfacher als man denkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2009, 22:02

Zizou66

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Zeig doch mal, was du gemacht hast und was du rausbekommst...

16.06.2009, 22:18

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Tarsuinn
Ah ok, einfach zu kompliziert gedacht. Manchmal ist Mathe doch einfacher als man denkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder auch nicht... geschockt

geschockt

Habs jetzt umgeformt aber wo sollte man da was kürzen? Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} \frac{ln|\sin(x)| }{ln|\sin(x)| - ln|\cos(x)| } \end{eqnarray*}$

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16.06.2009, 22:32

Zizou66

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Was ist denn cos(0) ?

16.06.2009, 22:33

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Zizou66
Was ist denn cos(0) ?

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16.06.2009, 22:34

Tarsuinn

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ohmann, ja jetzt machts klick, dann kommt da -0 hin und man kann den Sinx kürzen zu 1...*aua*

16.06.2009, 22:40

Zizou66

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Ja, so sieht es gut aus. Ich weiß nur nicht, ob man wirklich sofort kürzen darf, weil ja eigentlich ein unbestimmter Ausdruck da steht.

16.06.2009, 22:42

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Zizou66
Ja, so sieht es gut aus. Ich weiß nur nicht, ob man wirklich sofort kürzen darf, weil ja eigentlich ein unbestimmter Ausdruck da steht.

Ist eine gute Frage, aber könnte man da den Hospital anwenden, das dürfte doch auch nicht gehen denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht gegeben.

17.06.2009, 06:57

Leopold

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Du darfst nicht bei einem Teil des Terms den Grenzübergang vornehmen, während du im andern Teil das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen läßt. Schwerer Denkfehler! Du mußt den Grenzübergang simultan bei allen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vornehmen.
Rechne so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln \left| \sin x \right|}{\ln \left| \sin x \right| - \ln \left| \cos x \right|} = \frac{1}{1 - \frac{\ln \left| \cos x \right|}{\ln \left| \sin x \right|}} \end{eqnarray*}$

Und was ist jetzt bei $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ ?

17.06.2009, 08:04

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Leopold
Du darfst nicht bei einem Teil des Terms den Grenzübergang vornehmen, während du im andern Teil das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen läßt. Schwerer Denkfehler! Du mußt den Grenzübergang simultan bei allen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vornehmen.
Rechne so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln \left| \sin x \right|}{\ln \left| \sin x \right| - \ln \left| \cos x \right|} = \frac{1}{1 - \frac{\ln \left| \cos x \right|}{\ln \left| \sin x \right|}} \end{eqnarray*}$

Und was ist jetzt bei $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich habs fast geahnt das das nicht geht. Aber wenn ich das so umforme habe ich doch beim Grenzübergang bei ln(sinx) immer noch den unbestimmten ausdruck, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{ln|0|}} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

17.06.2009, 08:10

eierkopf1

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Wie lautet dieser Grenzwert?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac 1 n \end{eqnarray*}$

17.06.2009, 11:57

Tarsuinn

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Zitat:

Original von eierkopf1
Wie lautet dieser Grenzwert?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac 1 n \end{eqnarray*}$

0

17.06.2009, 15:04

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{\ln \left| \cos x \right|}{\ln \left| \sin x \right|} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ kein (!) unbestimmter Ausdruck. Die Glieder ziehen hier nicht in verschiedene Richtungen, sondern in dieselbe. Völlig problemlos ...

17.06.2009, 15:39

Airblader

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Naja, genaugenommen ziehen sie in verschiedene Richtungen und werden dadurch zu keinem unbestimmten Ausdruck.

Jedenfalls wäre "selbe Richtung" für mich, wenn beide gegen unendlich gehen - und dann wäre es unbestimmt.

air

17.06.2009, 16:04

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln \left| \cos x \right|}{\ln \left| \sin x \right|} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ kein (!) unbestimmter Ausdruck. Die Glieder ziehen hier nicht in verschiedene Richtungen, sondern in dieselbe. Völlig problemlos ...

Ok aber wie argumentiert man das richtig? Kann ja nicht einfach sagen ist so Big Laugh

Big Laugh

17.06.2009, 17:29

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \ln{\left| \cos x \right|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ x \to 0 \, , \ \ \ \frac{1}{\ln{\left| \sin x \right|}} \to 0 \ \ \mbox{für} \ x \to 0 \end{eqnarray*}$

Also strebt auch das Produkt gegen 0. Beachte: Ein "Unendlich" im Nenner ist so viel wie eine "Null" im Zähler. So meinte ich das vorhin mit dem "in-dieselbe-Richtung-Streben". Hier ziehen die Kräfte in dieselbe Richtung. Das ist kein unbestimmter Ausdruck und daher auch kein Fall für L'Hospital.

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