Abbbildungsmatrix, Basis des Kerns

17.06.2009, 10:34

sigmund7

Abbbildungsmatrix, Basis des Kerns

Hallo Allerseits!

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

"Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung mit der Abbilungsmatrix A und a ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ -2 & -4 & -3 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Untersuchen Sie, ob a im Bildraum $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R^4) \end{eqnarray*}$ liegt. Bestimmen Sie weiters eine Basis des Kerns von f."

Soweit ich die Materie verstanden habe ist
$\begin{eqnarray*} f(a) = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (also die Summe der Zeilen) das liegt offensichtlich schon im R^4

Der Kern ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 0 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & | 0\\ -2 & -4 & -3 & 4 & | 0\\ 1 & 0 & -1 & 8 & | 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nur wie gehe ich nun weiter damit vor? Ich könnte versuchen nun dieses System mit Gauss zu lösen, aber erhalten ich dadurch eine bzw. mehrere Basen von f ?

Bin für jeden konstruktiven Vorschlag dankbar!

Grüße,
Sigmund

17.06.2009, 10:44

jester.

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Da liegt ein kleiner Irrtum. Du sollst nicht prüfen, ob f(a) im IR^4 liegt, sondern ob es ein x gibt, das f(x)=a erfüllt.

Also prüfe, ob das LGS Ax=a lösbar ist.

Und für den Kern musst du in der Tat den Gauß-Algorithmus durchführen. Du erhältst jedoch keine Basis von f (Was soll das sein?) sondern eine des Kerns von f. Beziehungsweise auch mehrere, denn die Basis ist ja nicht eindeutig.

17.06.2009, 11:22

sigmund7

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Aja ok das erscheint mir einleuchtend:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & | 1\\ -2 & -4 & -3 & 4 & | 1\\ 1 & 0 & -1 & 8 & | 1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 1 \\ 0 & -1 & -2 & 5 & | -1\\ 0 & 0 & 3 & 0 & | 3 \\ 0 & -2 & -4 & 10 & | -1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 1 \\ 0 & -1 & -2 & 5 & | -1\\ 0 & 0 & 3 & 0 & | 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
somit liegt f(a) nicht im Bildraum.

Wenn ich nun das Ax=0 löse versuche, stelle ich fest das auch dieses LGS unlösbar. Sehe ich das richtig das in diesem Beispiel 4 Basen gibt?

EDIT: Latex verbessert (keine Zeilenschaltungen)

17.06.2009, 11:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von sigmund7
Der Kern ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 0 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & | 0\\ -2 & -4 & -3 & 4 & | 0\\ 1 & 0 & -1 & 8 & | 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nur wie gehe ich nun weiter damit vor? Ich könnte versuchen nun dieses System mit Gauss zu lösen, aber erhalten ich dadurch eine bzw. mehrere Basen von f ?

Ja, wenn man das Verfahren beherrscht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von sigmund7
somit liegt f(a) nicht im Bildraum.

Wieder falsch formuliert. Richtig muß es heißen: es gibt kein x mit f(x) = a.

Zitat:

Original von sigmund7
Wenn ich nun das Ax=0 löse versuche, stelle ich fest das auch dieses LGS unlösbar.

Falsch. Ax = 0 ist immer lösbar. smile

Zitat:

Original von sigmund7
Sehe ich das richtig das in diesem Beispiel 4 Basen gibt?

Das ist zum einen falsch formuliert und zum anderen siehst du das falsch.

Basen gibt es beliebig viele. Du meinst, daß es eine Basis mit 4 Elementen gibt. Aber auch das ist falsch.

17.06.2009, 11:38

jester.

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Ax=0 kann nicht nicht lösbar sein. Es gibt immer zumindest die triviale Lösung.

In diesem Fall gibt es jedoch noch mehr Lösungen. Und es gibt unendlich viele Basen.

17.06.2009, 14:15

sigmund7

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Zitat:

Ja, wenn man das Verfahren beherrscht. Augenzwinkern

Was genau habe ich falsch gemacht?

Nur mal nochmal gefragt: Im Prinzip muss ich, um diese Aufgabenstellung zu bestreiten mittels Gauss prüfen ob
1.) das LGS Ax=a und
2.) das LGS Ax=0 lösbar ist.

17.06.2009, 14:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von sigmund7
Was genau habe ich falsch gemacht?

Das kann ich dir erst sagen, wenn du deine Rechnung hier postest.

Zitat:

Original von sigmund7
Nur mal nochmal gefragt: Im Prinzip muss ich, um diese Aufgabenstellung zu bestreiten mittels Gauss prüfen ob
1.) das LGS Ax=a und
2.) das LGS Ax=0 lösbar ist.

Nochmal: Ax=0 ist immer lösbar. Und um den Kern von f zu bestimmen, mußt du nicht nur prüfen, ob Ax=0 lösbar ist (was - wie gesagt - sowieso immer der Fall ist), sondern du mußt eine Basis finden, die den Kern aufspannt.

17.06.2009, 15:30

sigmund7

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das kann ich dir erst sagen, wenn du deine Rechnung hier postest.

Also bei mir sieht das aus wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 0 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & | 0\\ -2 & -4 & -3 & 4 & | 0\\ 1 & 0 & -1 & 8 & | 0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 0 \\ 0 & -1 & -2 & 5 & | -1\\ 0 & 0 & 3 & 0 & | 0\\ 0 & -2 & -4 & 10 & | 0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & | 0 \\ 0 & -1 & -2 & 5 & | -1\\ 0 & 0 & 3 & 0 & | 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses System ist offenbar mehrdeutig lösbar, für
$\begin{eqnarray*} x_1:x_1+2x_2+3x_3-2x_4=0 \rightarrow x_1 = 3-8\lambda\\ x_2:-x_2-2x_3+5x_4=0 \rightarrow x_2 = 6+5\lambda \\ x_3:3x_3=0 \rightarrow x_3 = -3 \\ x_4:x_4 = \lambda \end{eqnarray*}$

Die Lösungen des Systems sind von der Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Nochmal: Ax=0 ist immer lösbar. Und um den Kern von f zu bestimmen, mußt du nicht nur prüfen, ob Ax=0 lösbar ist (was - wie gesagt - sowieso immer der Fall ist), sondern du mußt eine Basis finden, die den Kern aufspannt.

Wenn ich das nun richtig verstanden habe spann jedes \lamda den Kern auf?

17.06.2009, 15:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von sigmund7
$\begin{eqnarray*} x_3:3x_3=0 \rightarrow x_3 = -3 \end{eqnarray*}$

Das ist nicht dein Ernst, oder?

Zitat:

Original von sigmund7
Wenn ich das nun richtig verstanden habe spann jedes \lamda den Kern auf?

Nein. Der Kern wird von Basisvektoren aufgespannt. Man schreibt dann:

Kern(f) = span<v_1, ... v_n>, wobei die v_i linear unabhängige Lösungen des GLS sind.

17.06.2009, 15:54

sigmund7

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist nicht dein Ernst, oder?

Oh, Danke ein peinlicher Tippfehler.
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 21 \\ 6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Nein. Der Kern wird von Basisvektoren aufgespannt. Man schreibt dann:

Kern(f) = span<v_1, ... v_n>, wobei die v_i linear unabhängige Lösungen des GLS sind.

Tut mir leid, aber ich bekomm das noch immer nicht gebacken, wie finde ich nun eine Basis die den Kern aufspannt?

17.06.2009, 16:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von sigmund7
Oh, Danke ein peinlicher Tippfehler.
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 21 \\ 6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wird es auch nicht besser. Denk mal genau nach.

Zitat:

Original von sigmund7
Tut mir leid, aber ich bekomm das noch immer nicht gebacken, wie finde ich nun eine Basis die den Kern aufspannt?

Nehme beispielsweise die Vektoren, die hinter deinen Parametern stehen.

17.06.2009, 17:29

sigmund7

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Nun gut, Heute ist nicht mein Tag: 3x_3 = 0 -> x_3 = 0

Also ich bin schon wieder verwirrt, ich sehe *hinter* meinem Parameter \lamda nur einen Vektor und zwar, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder ist jedes \lamda fache dieses Vektors auch eine Basis die den Kern aufspannt?

18.06.2009, 09:59

klarsoweit

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Du kannst genau diesen Vektor oder auch jedes beliebige Nicht-Null-Vielfache davon als Basisvektor nehmen. Augenzwinkern

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