Anfangswertproblem und Lösung einer DGL

17.06.2009, 15:27

Maltee

Anfangswertproblem und Lösung einer DGL

Habe folgenden 2 Probleme:
1. Ich soll folgendes AWP lösen: $\begin{eqnarray*} x' -2x = cos (t) , x(0)=0 \end{eqnarray*}$
Nun muss ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ einfügen und dann Integrieren oder? Ich weiß allerdings nicht genau wo ich es einsetzen soll unglücklich

Dessweiteren weiß ich nicht, wie/wann ich $\begin{eqnarray*} x(0)=0 \end{eqnarray*}$ benutzen soll.

2. Dann soll ich noch die Lösung für $\begin{eqnarray*} x' = \frac{2(\frac{x}{t})^2 -1 }{\frac{x}{t} } \end{eqnarray*}$ mit den Anfangswert x(1)=1 finden.

Bitte helft mir auf die Sprünge

17.06.2009, 15:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anfangswertproblem und Lösung einer DGL

Zitat:

Original von Maltee
Nun muss ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ einfügen und dann Integrieren oder?

Nein. Du mußt erstmal erkennen, um welchen DGL-Typ es sich handelt und welche Lösungsmethode dann anzuwenden ist.

17.06.2009, 18:17

Auf diesen Beitrag antworten »

1.Bei dieser linearen DGL 1.Ordnung ist nichts weiter zu sagen: Die üblichen Methoden greifen, wie z.B. erst homogene Lösung bestimmen, dann Variation der Konstanten usw.

2.Die naheliegende Substitution $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{t} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} x=y\cdot t \end{eqnarray*}$ überführt diese DGL in eine DGL mit trennbaren Veränderlichen.

17.06.2009, 18:35

Epsilon82

Auf diesen Beitrag antworten »

Und ergönzend zu deiner Frage, was du mit x(0)=0 machen sollst.

Du hast eine DGL, also Ableitungen verschiedenen Grades und igendwas dann noch. Um von f'(x) zu f(x) zu kommen willst du ja integrieren, nicht wahr?

Wenn du aber überlegst, dass beim Ableiten Konstanten wegfallen, also c' = 0 wird, hast du beim Integrieren von f'(x) stets diese Konstante c dabei, die beim vorherigen Ableiten ja wegfiel.

Wenn du nun am Ende eine Funktion f(x) hast, dann sieht sie vielleicht so aus:

f(x)=......+c

Nun soll die AWA eben f(0)=0 sein. (*)
Wenn du 0 also einsetzt, siehst du nachher, wie du c wählen musst, damit halt * gilt.

Hier ein Beispiel:

f(x)=exp(3*x)+c
AWA war f(0)=0
Nun hast du
f(0)=exp(3*0)+c
=> exp(0)+c=0
=>1 + c =0
=> c=-1

Hoffe, das hilft schon einmal.
Gruß

18.06.2009, 07:13

Maltee

Auf diesen Beitrag antworten »

Epsilon82: Das hat mir sehr geholfen danke!

Zitat:

Original von klarsoweit
Nein. Du mußt erstmal erkennen, um welchen DGL-Typ es sich handelt und welche Lösungsmethode dann anzuwenden ist.

Gibt es irgendwo eine gut Übersicht darüber?

Zitat:

Original von Arthur Dent
1.Bei dieser linearen DGL 1.Ordnung ist nichts weiter zu sagen: Die üblichen Methoden greifen, wie z.B. erst homogene Lösung bestimmen, dann Variation der Konstanten usw.

heißt, ich sehe das $\begin{eqnarray*} x' = f'(x) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(t)+2x \end{eqnarray*}$ und dann die Stammfunktion bilden?

19.06.2009, 11:11

Maltee

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
2.Die naheliegende Substitution $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{t} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} x=y\cdot t \end{eqnarray*}$ überführt diese DGL in eine DGL mit trennbaren Veränderlichen.

Kann ich bei dieser aufgabe einfach das Integral bestimmen?
Also:
$\begin{eqnarray*} x' = \frac{2(\frac{x}{t})^2 -1 }{\frac{x}{t} } \Rightarrow x(t) = \int_{}^{}~\frac{2(\frac{x}{t})^2 -1 }{\frac{x}{t} } ~dt = \int_{}^{}~\frac{2x}{t} ~dt - \int_{}^{}~\frac{t}{x} ~dt = 2x*ln(t)-\frac{1}{2x}t^2 \end{eqnarray*}$

19.06.2009, 11:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja schrecklich anzuschauen, wie du da die Analysis vergewaltigst. unglücklich

Was hatte ich geschrieben? Substitution! Und wenn du dich daran hältst, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} x = yt \end{eqnarray*}$ differenziert $\begin{eqnarray*} x' = y't + y \end{eqnarray*}$ , und das in $\begin{eqnarray*} x' = \frac{2\left(\frac{x}{t}\right)^2 -1 }{\frac{x}{t} } \end{eqnarray*}$ eingesetzt dann

$\begin{eqnarray*} y't + y = \frac{2y^2-1}{y} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} y'\cdot \frac{y}{y^2-1} = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ .

19.06.2009, 11:46

Maltte

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay und dann habe ich getrennte Varialben und integriere das:
$\begin{eqnarray*} y'\cdot \frac{y}{y^2-1} = \frac{1}{t} \Rightarrow \int_{}^{}~ \frac{y}{y^2-1}~dy = \int_{}^{}~\frac{1}{t}~dt \Rightarrow \frac{ln(y^2-1)}{2} = ln(t) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

19.06.2009, 11:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du noch die fehlende Integrationskonstante ergänzt: Ja.

19.06.2009, 12:27

Maltee

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(y^2-1)}{2}+C_1 = ln(t)+C_2 \end{eqnarray*}$
Wie muss ich nun weiter machen? ich sub. das y zurück:
$\begin{eqnarray*} \frac{ln((\frac{x}{t})^2-1)}{2}+C_1 = ln(t)+C_2 \end{eqnarray*}$
und löse nach x auf?
Wie mache ich das mit den anfangswert:
$\begin{eqnarray*} x(1)=3 \end{eqnarray*}$

19.06.2009, 13:06

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Integrationskonstante (also links oder rechts) hätte genügt.

Wie diese nun konkret zu wählen ist, ergibt sich durch Einsetzen der Anfangsbedingung in die erhaltene allgemeine Lösung.

19.06.2009, 14:13

Maltte

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} x = yt \end{eqnarray*}$

Arthur Dent vieelen dank, ich hab die Aufgabe endlich verstanden und nun auch das richtige Ergebnis.
Nur eine sache verwirrt mich, wie kommst du hier auf das $\begin{eqnarray*} x' = y't + y \end{eqnarray*}$ ?

Bitte um eine kleine Erklärung.

19.06.2009, 14:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Schlicht und einfach Produktregel - in aller Ausführlichkeit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} (y\cdot t) = y \cdot \left( \frac{\dd}{\dd t} t \right) + \left( \frac{\dd}{\dd t} y \right)\cdot t = y \cdot 1 + y' \cdot t \end{eqnarray*}$

(Hab's bewusst übertrieben mit den Klammern, damit es keinerelei Missverständnisse aufkommen!)

19.06.2009, 15:59

Schmidt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} y't + y = \frac{2y^2-1}{y} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} y'\cdot \frac{y}{y^2-1} = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ .

Wie hast du das so umstellen können? kannst du Zwischenschritte nennen?

Neue Frage »

Antworten »

Anfangswertproblem und Lösung einer DGL

Verwandte Themen