Winkel zwischen zwei Vektoren

17.06.2009, 19:23	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen zwei Vektoren Wie kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen, aber nicht nur im Intervall $\begin{eqnarray} 0 \leq \alpha \leq \pi \end{eqnarray}$ wie man es ja beim Skalarprodukt erhält? Der Hintergrund: Ich will zwei Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ aufeinander drehen, aber dazu muss ich ja den Drehsinn oder eben den Winkel wissen -sonst drehe ich ja möglicherweise falsch...
18.06.2009, 01:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du ein konkretes Beispiel? Auf Grund der Koordinaten jedes einzelnen Vektors ist eindeutig festgelegt, in welchen Quadranten er hinzeigt! Daher kann in der Folge von beiden Vektor jeweils der Winkel mit der positiven x-Achse bestimmt werden. Deren zutreffende Differenz ist dein gesuchter Winkel. mY+
18.06.2009, 07:54	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich habe kein konkretes Beispiel,sondern möchte es eben allgemein machen. Eigentlich geht es darum zu zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} u,v \in \mathbb{R}^2, \\|u\\| = \\|v\\| (u \not= v) \end{eqnarray}$ eine Matrix $\begin{eqnarray} T \in SO(2) \end{eqnarray}$ (also T orthogonal und det T =1) existiert, sodass $\begin{eqnarray} T \cdot u = v \end{eqnarray}$ ... und da hatte ich mir eben überlegt, dass man das ja eigentlich einfach durch eine Drehung bewerkstelligen kann. Aber danke für deinen Tipp mit der positiven x-Achse, ich hoffe mal, ich kriege es damit hin
18.06.2009, 10:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man einen Vektor (x1\|x2) entgegen dem Uhrzeigensinn drehen will (also in positive Richtung), lautet die Elemente Drehmatrix D11=cos(phi)____D12=-sin(phi) D21=sin(phi)____D22=cos(phi) Hast du umgekehrt den Originalvektoren (x1\|x2) und Bildvektor (y1\|y2) gegeben und suchst Drehmatrix, dann benötigt man im Prinzip nur den Drehwinkel phi in der oben genannten Drehmatrix. Eine einfache Rechnung ergibt cos(phi)=(x1y1+y2x2)/(x1^2+x2^2) Einsetzen in die obigen Matrixelemente Dij ergibt die gesuchte Drehmatrix.
18.06.2009, 14:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Umkehrung liefert $\begin{eqnarray} \arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{\vec a^2} = \varphi \end{eqnarray}$ jedoch wiederum zwei Winkel innerhalb der 4 Quadranten. Somit kann sie den "richtigen" Winkel dann erst wieder herausfinden, wenn sie die Vektoren gezeichnet hat. Deswegen ist zu untersuchen, in welche Quadranten die Vektoren zeigen. mY+
18.06.2009, 17:21	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Ehos Wie die Drehmatrix an sich aussieht, weiß ich ja auch. Wie mYthos schon schrieb, geht's mir nur um den Winkel ... und ich kann sie ja schlecht zeichnen, wenn ich es allgemein machen will Aber nunja, da wir an sich nur zeigen sollen, dass eine Matrix existiert, muss ich ja den Winkel nicht unbedingt explizit angeben... (Korrektoren missdeuten ja sowas leider oft )
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