Residuum bei wesentlicher Singularität

17.06.2009, 19:26	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum bei wesentlicher Singularität Guten Abend, sei $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{\exp(1/z}{(z+1)^2} \end{eqnarray}$ . Wie kann ich das Residuum an der Stelle z=0 berechnen? Ich denke das könnte mit der Laurentreihenentwicklung funktionieren, aber wie macht man das hier? Analog stelle ich mir die frage für $\begin{eqnarray} g(z)=z^{-4}cot(z) \end{eqnarray}$ . Wie bestimme ich hier für z=0 das Residuum? Gruß
17.06.2009, 20:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man die Laurent-Reihe von $\begin{eqnarray} f(z) = \operatorname{e}^{\frac{1}{z}} \end{eqnarray}$ um 0 bekommt, sollte klar sein. Die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} G(z) = - \frac{1}{1+z} \end{eqnarray}$ um 0 ist auch kein Problem. Durch Differenzieren findest du dann auch die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} g(z) = G'(z) = \frac{1}{(1+z)^2} \end{eqnarray}$ Jetzt bilde das Produkt $\begin{eqnarray} f(z) \cdot g(z) \end{eqnarray}$ der Reihen. Dabei ist es gar nicht nötig, eine geschlossene Darstellung dafür zu finden, sondern es genügt, sich zu überlegen, welche Glieder der Reihe von $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ multipliziert mit welchen Gliedern der Reihe von $\begin{eqnarray} g(z) \end{eqnarray}$ einen Beitrag zu $\begin{eqnarray} z^{-1} \end{eqnarray}$ liefern. Dabei entsteht eine bekannte Reihe, die das Residuum angibt.
18.06.2009, 17:01	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, ich erhalte mit deinem Tip: $\begin{eqnarray} Res(f,0)=-e \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Der Rechenweg war echt toll erklärt. Noch eine kleine Sache, für die funktion g(z) würde ich das gerne genauso machen, hast du einen Tip wie ich die Reihe von $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^4} \end{eqnarray}$ bekomme?
18.06.2009, 22:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe als Residuum $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{-1} \end{eqnarray}$ heraus. Bei der zweiten Aufgabe forme so um: $\begin{eqnarray} \frac{\cot z}{z^4} = \frac{1}{z^5} \cdot \frac{1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} \mp \ldots}{1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} \mp \ldots} \end{eqnarray}$ Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} \mp \ldots \right) \cdot \left( a_0 + a_2 z^2 + a_4 z^4 + \ldots \right) = 1 \end{eqnarray}$ kannst du durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich $\begin{eqnarray} a_0,a_2,a_4 \end{eqnarray}$ bestimmen (ich habe $\begin{eqnarray} 1,\frac{1}{6},\frac{7}{360} \end{eqnarray}$ als Werte). Die Reihe der zweiten Klammer ist dann der Kehrwert der Reihe der ersten Klammer. Diesen Kehrwert multiplizierst du dann mit der Cosinus-Reihe. Dabei interessieren nur Glieder, die Beiträge zu $\begin{eqnarray} z^4 \end{eqnarray}$ liefern.
19.06.2009, 08:48	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den zweiten Teil fehlt mir gerade die Zeit, aber zum Residuum habe der ersten Aufgabe habe ich noch eine kurze Frage. Der Term bei $\begin{eqnarray} z^{-1} \end{eqnarray}$ lautet bei mir: $\begin{eqnarray} a_{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k!} \end{eqnarray}$ und das ist wie du gesagt hast $\begin{eqnarray} e^{-1} \end{eqnarray}$

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