Stammfunktionen

17.06.2009, 20:29

gruenerblob

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Stammfunktionen

Hallo alle miteinander!

Diemal gehts bei mir um Stammfunktionen.
nur leider komm ich da nicht wirklich weiter. ich poste mal die 3 stück:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2(x)*\cos^4(x) } \end{eqnarray*}$

Hier dacht ich mir dass ich eventuell mit der Substitutionsregel was machen könnte, da der cos ja die Ableitung vom sin ist. Nur weiß ich da irgendwie nicht weiter, weil ich nicht weiß wo ich was ersetzen muss. Oder isses wirklich so dass die Ableitung von
1/sin gleich 1/cos ist? Nicht wirklich oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{4x^2+4x+9} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich zuerst die Nullstellen im Nenner bestimmen. zwecks Partialbruchzerlegung. Blo ß irgendwie komm ich da bei der Lösungsformel immer auf ne negative Zahl unter der Wurzel....kann also auch net sein. Oder ich rechne irgendwie komplett falsch.

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^3+3x^2+2x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1} \end{eqnarray*}$

und hier hab ich gar keine Ahnung. Als Hinweis ist dort gegeben dass nur kurzes Nachdenken als langes Rechnen erforderlich ist....

Würde mich wahnsinnig über eure Ratschläge freuen.

Gruß Heiko

17.06.2009, 20:35

gruenerblob

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nochmal ich hier also die letzte hab ich raus.
müsste ja eigentlich der

ln(x^4+x^3+x^2+x+1) sein.

17.06.2009, 22:34

Calvin

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RE: Stammfunktionen
Für das erste habe ich spontan keine Idee. Aber bei dem hier:

Zitat:

Original von gruenerblob
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{4x^2+4x+9} \end{eqnarray*}$

Mache im Nenner quadratische Ergänzung. Bringe danach den Term durch geeignete Substitution auf die Form $\begin{eqnarray*} \int~\frac{a}{u^2+1}\,\dd u \end{eqnarray*}$

Die dritte ist richtig.

17.06.2009, 22:46

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)^2\cos(x)^4}=\frac{(1+\tan(x)^2)^3}{\tan(x)^2} \end{eqnarray*}$

Dann die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\tan(x) \end{eqnarray*}$

17.06.2009, 22:48

gruenerblob

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erstmal dankeschön für die antwort bloß mit quadratischer ergänzung bin ich nicht so firm.

wär jetzt auf (2x+3)^2 gekommen aber des is ja mist. kannst du mir da nochmal auf die sprünge helfen?

17.06.2009, 22:53

Ungewiss

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Da Calvin gerade nicht online ist:
$\begin{eqnarray*} 4x^2+4x+9=(2x+1)^2+8 \end{eqnarray*}$

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17.06.2009, 22:55

gruenerblob

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ah ok danke probier gleich mal rum

17.06.2009, 22:58

gruenerblob

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irgendwie steig ich immer noch nicht durch. sorry.
ersetz ich dann (2x+1)^2 durch u?
und wie muss ich dann weiter machen?

17.06.2009, 23:05

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} (2x+1)^2+8=8\bigg(\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{8}}\Big)^2+1\bigg) \end{eqnarray*}$

Probier mal das was quadriert wird zu substituieren. Dann kommst du auf das Integral, welches Calvin oben gepostet hat und das ist ein Standardintegral.

17.06.2009, 23:06

Rare676

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Du musst 8 aus dem gesamten Nenner aus klammern, und mit in die Klammer bringen. Danach den Klammerausdruck substituieren.

Edit: etwas zu spät

17.06.2009, 23:13

gruenerblob

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also so wie du das umformst versteh ich net.
hab etz grad woanders gelesen dass wenn ich was unters quadrat bringen woll dann müsst ich folgendes machen also die wurzel draus ziehen.

16*(x+1)² = (4(x+1))²

naja und in dem beispiel hab ich ja (....)^2 +8 und ne eins soll ja drausen bleiben.
also hätte ich jetzt des so aufgeteilt (...)^2 +7 +1
dann (wurzel7(2x+1))^2 +1 gemacht.

is aber wahrscheinlich komplett falsch oder?

ach nee....is ja + und net *....omg etz bin ich komplett durch den wind

17.06.2009, 23:17

gruenerblob

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ah moment glaub etz steig ich langsam dahinter...
aber ich hab im nenner ja immer noch wurzel 2 stehen was mach ich dann damit?

die stammfunktion von 1/x^2+1 wär ja der arctan

bloß was ich mit der wurzel oben mach is mir noch net klar

17.06.2009, 23:19

Ungewiss

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Du meinst den Zähler? Konstante Faktoren darf man vor das Integral ziehen.

17.06.2009, 23:22

gruenerblob

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also dann wärs ja Wurzel2 * arctan(u)
bloß etz fehlt mir noch der faktor 8 im nenner....

oder schreib ich dann Wurzel2 * arctan(8*u)?
oh mann tut mir echt leid dass ich dich etz da so nerv...

17.06.2009, 23:26

gruenerblob

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ach moment ich kann ja dann beide vor ziehen

also wär des ergebniss

(wurzel2/8) * arctan(u) oder?

17.06.2009, 23:29

Ungewiss

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Ich schlage diese Substitution vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{\sqrt{8}}=u \Rightarrow \frac{\sqrt{8}\dd u}{2}=\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sqrt{2}}{4x^2+4x+9}\dd x=\int~\frac{\sqrt{2}}{8(u^2+1)}\frac{\sqrt{8}\dd u}{2} \end{eqnarray*}$

Wo haperts denn genau?

Edit: Wenn der ganze Bruch unter der Wurzel steht ist das eine Stammfunktion. Solltest aber noch zurücksubstituieren.

Edit2:
Der Bruch stimmt doch nicht ganz, der Vorfaktor sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$ sein

17.06.2009, 23:39

gruenerblob

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ah hab ein x vorhin vergessen.

ich behandel (2x+1/wurzel8)^2 als u.

dann der konstante faktor wurzel2/8 zieh ich vors integral.
dann hab ich nur noch integral von 1/((u^2)+1)
naja und davon is die stammfunktion ja arctan(u) und etz substituiere ich noch zurück und stell den faktor noch davor.
wär des so richtig?

17.06.2009, 23:42

gruenerblob

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also bis auf den vorfaktor begreif ichs
und des wurzel 8du /2

17.06.2009, 23:44

Ungewiss

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Du substituierst nur das, was in der Klammer steht, und nicht noch das Quadrat, so wie du es geschrieben hast. Und der konstante Faktor stimmt auch nicht. Sieh mal in meinen letzten Beitrag.

Edit:
Wenn man substituiert, muss man auch das dx ersetzen.

17.06.2009, 23:49

gruenerblob

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oh ja stimmt mit dem quadrat hab ich mich vertippt.
nur ist mir nicht klar wie du auf den vorfaktor kommst.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sqrt{2}}{(8*((u)^2+1)} ~dx \end{eqnarray*}$

dass is doch mein integral und der vorfaktor wäre doch dann

Wurzel2/8

17.06.2009, 23:54

Ungewiss

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Du musst bei der Substitution in diesem Fall auch das dx ersetzen, da deine Integrationsvariable nicht mehr x sondern u ist.

17.06.2009, 23:55

gruenerblob

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ja ok aber deswegen is doch mein vorfaktor immer noch wurzel2/8
und des is ja nicht der den du raushast

17.06.2009, 23:59

Ungewiss

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Du kriegst einen anderen Faktor raus, weil du das dx nicht ersetzt. Hast du vorher schonmal das Substitutionsverfahren angewendet? Denn alles von Belang müsste in dem ersten Post auf Seite 2 stehen.

18.06.2009, 00:01

gruenerblob

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naja noch nicht so richtig...unser prof is etwas komisch....aber egal...
aber warum macht das du den vorfaktor aus?

bis auf das du wär doch mein integral so wies da steht richtig oder?

18.06.2009, 00:04

Ungewiss

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Naja, wenn du zurücksubstituierst und nach x ableitest, wirst du feststellen, dass das nur fast eine Stammfunktion ist.

18.06.2009, 00:07

gruenerblob

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oh mann...ich begreifs irgendwie überhaupt net....

wie substitiure ich denn dass dx?
schreib ich nicht einfach statt dx nur du?
ich weiß des steht scho oben aber wie kommst du darauf?

du hast oben ja eigentlich nur vor x und u ein d geschrieben und nach dx aufgelöst. nur kommt irgendwie die 1 abhanden.

18.06.2009, 00:58

Airblader

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Dass $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd u \end{eqnarray*}$ Differentiale sind, weißt du ja, oder?

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} u = h(x) \end{eqnarray*}$ substituiert, dann ist eben

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{\dd u}{\dd x} = h'(x)~\Leftrightarrow~ \dd x = \frac{\dd u}{h'(x)} \end{eqnarray*}$

Und so kannst du es ersetzen.

air

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