Differenzierung nach der Produktregel

18.09.2006, 17:40

Tychy

Differenzierung nach der Produktregel

Drei Aufgaben, die ich gelöst habe, aber die ich von euch mal nachgeprüft haben will. Danke

Produktregel: u' * v + v' * u

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x}*cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/2x^{-1/2}*cos x-sinx * x^{1/2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x}*sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/2x^{-1/2}*sin x+cos * x^{1/2} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=x*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{-1}-x^{-1} \end{eqnarray*}$

Bei der c bin ich mir unsicher. Ist es möglich das 0 rauskommt?

18.09.2006, 17:43

Bjoern1982

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Stimmt alles Freude

Gruß Björn

18.09.2006, 17:45

ich bin smile

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Hallo Tychy, Wink

alles scheint richtig zu sein.

Zu c): Ja, denn x*(1/x)=1, also eine Konstante. Augenzwinkern

18.09.2006, 17:49

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Zitat:

Original von ich bin smile
Zu c): Ja, denn x*(1/x)=1, also eine Konstante. Augenzwinkern

Da kein Wertebereich für x angegeben ist, gilt $\begin{eqnarray*} x*(1/x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .
Siehe hier. Gott sei dank spielt das beim Derivat eh' keine Rolle mehr.

18.09.2006, 17:57

Tychy

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Danke für die Hilfe, aber ich habe hier noch eine Aufgabe zum Überprüfen, die ich übersehen habe.

Ein Funktion, die wir einmal mit und ohne Produktregel lösen sollten.

Mit Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+4)*(7x^{2}+5) \end{eqnarray*}$

u'(x)=3 und v'(x)=14x

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3*(7x^{2}+5)+14x*(3x+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=21x^{2}+15+42x^{2}+56x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=63x^{2}+56x+15 \end{eqnarray*}$

Ohne Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+4)*(7x^{2}+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=21x^{3}+15x+28x^{2}+20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=63x^{2}+56x+15 \end{eqnarray*}$

18.09.2006, 17:59

Bjoern1982

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Sieht doch prima aus - und wenn schon zweimal dasselbe rauskommt ist das ja schonmal ein sehr gutes Zeichen Augenzwinkern

18.09.2006, 18:00

Tychy

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Danke für die schnelle und freundliche Hilfe! Freude

18.09.2006, 18:00

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Alles korrekt! Freude

#edit: oh man, ich bin ja echt die Geschwindigkeit in Person. Big Laugh

20.09.2006, 17:06

Tychy

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Da bin ich wieder! Wink

Könntet ihr noch einmal zwei Aufgabe mit der selben Aufgabenstellung überprüfen?

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=a*\sqrt{x} *\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} \sin(x) + \cos(x)*a*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=(2ax)^{2}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=8a^{2}x*\frac{1}{x}+(2ax)^{2}*(-x^{-2}) \end{eqnarray*}$

20.09.2006, 17:13

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Die erste Aufgabe stimmt. Freude

Allerdings schaut's sehr häßlich aus. ;-)

Bei der 2. Aufgabe kommst du, wenn du zusammenfasst und vereinfachst auf $\begin{eqnarray*} 6a^2 \end{eqnarray*}$ . Ergebnis sollte aber (so nehme ich an) $\begin{eqnarray*} 4a^2 \end{eqnarray*}$ sein.

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