Abschluss Menge |
18.06.2009, 10:44 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Abschluss Menge ich will 2 Beweise dazu machen. Es seien (X,d) ein metrischer Raum und M C X. Zeige: a) M abgeschlossen <=> Nach der Definition in meinem Skript weiß ich, dass Also muss ich doch zeigen: M abgeschlossen <=> oder? Die erste Richtung habe ich so gemacht: "=>" M abgeschlossen => und die andere Richtung wäre dann "<=" Vorraussetzung und zu zeigen wäre dass M dann abgeschlossen ist. Aber da komme ich nicht weiter. Beim zweiten Beweis weiß ich nicht wie ich anfangen soll: b) (irgendwie sind die Mengenklammern verschwunden, die auf der linken Seite um das ganze kommen verschwunden!) Wäre sehr dankbar wenn mir jemand eine Tipp geben könnte. |
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18.06.2009, 18:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu a): Wenn abgeschlossen ist, dann hast du richtig erkannt, dass dann und damit gilt. Ist umgekehrt vorausgesetzt, warum ist dann wohl abgeschlossen? b) Mengengleichheit zeigt man im Allgemeinen durch Inklusion. Dabei ist die Definition der Abgeschlossenheit unumgänglich (wie ist eure?). PS: Für Mengenklammern muss du "\{" und "\}" schreiben. |
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18.06.2009, 19:37 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Abschluss Menge Danke für die Antwort! Also zu a) "<=" (nach Definition) und da nach Vorrausseetzung ist auch M abgeschlossen. Reicht das etwa schon als Begründung? Kommt mir so einfach und kurz vor! zu b) Also wir haben "abgeschlossen" so definiert: Es sei (X, d) ein metrischer Raum. M C X heißt abgeschlossen, falls (also das Komplement von M) offen ist. |
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19.06.2009, 00:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist immer abgeschlossen und wenn ist, dann ist natürlich auch abgeschlossen. Das ist tatsächlich so einfach. Zu b): Dann benutze doch einfach mal diese Definition. Du musst, wie gesagt, zwei Inklusionen zeigen bzw. bei solchen Aussagen kann man oft einen Trick anwenden. Zeige: 1. Sei Grenzwert eine Folge mit Gliedern nur aus . Warum kann dann nicht in liegen? 2. Die Menge, die auf der rechten Seite der zu beweisenden Behauptung steht, ist abgeschlossen und sie enthält . Warum folgt daraus die Gleichheit? |
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19.06.2009, 08:47 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also zu 1.: Sei und ist offen, da abgeschlossen ist und nach meiner Definition das Komplement dann offen ist. kann ich das so behaupten? und da die folge komplett in M liegt müsste auch der Grenzwert x in M liegen. Da M aber wieder Teilmenge von ist kann x nicht in liegen oder? Stimmt das? Wenn ja wie bringe ich das in eine mathematische Form? |
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19.06.2009, 09:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was kannst du einfach so behaupten? Ich würde dazu jedenfalls nichts mehr sagen bzw., wenn noch nicht in der Vorlesung getan, würde ich noch erwähnen, dass als Durchschnitt (beliebig vieler) abgeschlossener Mengen auch abgeschlossen ist.
Nein, das ist leider total falsch. Das ist ja gerade der Witz am Abschluss, dass der nämlich alle Grenzwerte enthält. Nach deiner Schlussfolgerung wäre die Menge oben auf der rechten Seite ja sogar gleich . Betrachte als Gegenbeispiel zu deiner Behauptung und . Der Rest ist damit natürlich nicht mehr sinnvoll. Nimm doch einfach mal an, läge nicht in . |
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19.06.2009, 09:29 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn x nicht in läge, könnte die Folge nicht gegen x konvergieren, da die Folge komplett in M liegt. Ist das richtiger? irgendwie hänge ich da. |
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19.06.2009, 17:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das reicht natürlich nicht, weil du nur eine Behauptung ohne Begründung hingeschrieben hast. Wenn nicht in liegt, wo liegt es dann? Welche Eigenschaft hat diese Menge? Was bekommst du, wenn du diese Eigenschaft auf anwendest? |
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19.06.2009, 19:10 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn x nicht in liegt, liegt x in . ist abgeschlossen, dann ist offen. Also kann die Folge nicht gegen x konvergieren, da die Folge komplett in M liegt. Ist die Begründung richtig? |
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19.06.2009, 19:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du hast wieder nur eine Behauptung hingeschrieben, ohne diese zu begründen. Warum kann denn die Folge nicht gegen konvergieren, wenn in liegt? Gucke dir dazu die Definition von "Offenheit" an, wende diese, wie schon gesagt, auf den Punkt an und erhalte so einen wirklichen Widerspruch (d.h. mit Begründungen bis ins letzte Detail). |
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19.06.2009, 19:53 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Abschluss Menge Wenn x nicht in liegt, liegt x in . ist abgeschlossen, dann ist offen, d.h. für alle x und deswegen kann die Folge nicht gegen x konvergieren weil die Folge in M liegt. Dies ist ein Widerspruch zur Behauptung, deswegen muss x in liegen. |
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19.06.2009, 20:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war nicht bis ins letzte Detail. Ich machs jetzt einfach nochmal komplett: Sei Grenzwert einer Folge mit für alle . Angenommen, es wäre , d.h. . Dann existiert wegen der Offenheit von ein mit . Zu diesem existiert wegen der Konvergenz obiger Folge gegen ein , sodass für alle stets gilt (diesen Schritt hast du vergessen!). Dann folgt aber für alle auch , also . Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Widersprüche zur Behauptung bringen absolut nichts, man braucht Widersprüche zur Voraussetzung oder zu bereits bekannten Aussagen! |
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19.06.2009, 22:02 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für die geduldige Hilfe! Ja das ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung nicht zur Behauptung, meinte ich auch eigentlich. |
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19.06.2009, 23:50 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Abschluss Menge Eine Frage habe ich noch: Ist das jetzt der komplette Beweis zu b)? Ich muss doch noch die andere Seite beweisen oder? Nämlich aus folgt |
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20.06.2009, 11:58 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Abschluss Menge Ach quatsch. hat sich erledigt! |
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20.06.2009, 13:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, natürlich musst du das. Bis jetzt weißt du für nur, dass gilt. Zeige jetzt noch:
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20.06.2009, 13:54 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja stimmt. Kann ich für den Beweis, das N abgeschlossen ist, den 1. Teil verwenden? Dort habe ich doch gezeigt: und ist doch abgeschlossen. Daraus folgt also, dass N auch abgeschlossen ist. Diese Aussage ist mir eigentlich logisch, aber ich habe keine Idee wie ich das nachweisen könnte. |
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20.06.2009, 14:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist komplett falsch. Dann wäre ja jede Menge abgeschlossen, weil jede Menge Teilmenge des ganzen Raums ist und der abgeschlossen ist. Das gleiche Argument würde auch die Abgeschlossenheit von bringen, weil ja gilt. Das ist aber einfach falsch, siehe z.B. mit . Zu : Sei . Du musst eine Folge von Elementen aus finden, die gegen konvergiert. Welche könnte man da wohl nehmen? |
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20.06.2009, 14:09 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann könnte ich doch die Folge nehmen oder? |
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20.06.2009, 14:48 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche Folge? Du hast hier keine Folge definiert! Und sobald du schreibst, ist es auch sinnlos ein davor zu schreiben. |
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20.06.2009, 15:09 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Muss ich irgendeine konkrete Folge definieren? ich meinte die Folge , die gegen x konvergiert für Ich glaub irgendwie verstehe ich nicht was gemeint ist. |
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20.06.2009, 15:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt nicht die Folge, die gegen konvergiert. Du musst doch eine Folge von Elementen aus angeben, die gegen konvergiert. Und wenn gilt, kannst du einfach die konstante Folge für alle nehmen. |
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21.06.2009, 11:21 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich jetzt saruas schon folgern, dass ist? |
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21.06.2009, 20:23 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja natürlich, denn damit man für jedes eine konvergente Folge mit Elementen aus angegeben, die gegen konvergiert. Also erfüllt die definierende Eigenschaft von , d.h. es ist . Und da man für die Inklusion nunmal zeigen muss, was damit getan wurde, folgt eben diese Inklusion. Bleibt noch die Abgeschlossenheit zu zeigen. Hast du dazu vielleicht eine Idee? Benutze eine Charakterisierung der Abgeschlossenheit über Folgen, denke an die Definition von und schreibe dir alles zusammen einmal hin. Dann sollte das auch nicht so schwierig sein. |
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22.06.2009, 19:11 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: ich habe den 1. Teil nochmal komplett aufgeschrieben: Sei und eine Folge und es gilt für alle , da man für jedes eine konvergente Folge mit Elementen aus M angeben kann, die gegen x konvergiert. Nun zu N abgeschlossen: Angenommen nicht offen, also N offen. Dann existiert ein , so dass für alle da der Abstand von x und kleiner als 1/n ist also für n gegen unendlich gegen 0 geht, ist dies ein Widerspruch zur Vorraussetzung. Stimmt das? |
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23.06.2009, 01:09 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Gegenteil von Offenheit ist nicht Abgeschlossenheit. Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, und es gibt auch Mengen, die keins von beidem sind. Das Gegenteil von " abgeschlossen" ist " nicht abgeschlossen" und nichts anderes. Deswegen ist diese Aussage falsch. Du benutzt das aber anschließend gar nicht und dein Widerspruchsbeweis ist korrekt und zeigt, dass offen sein muss. |
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23.06.2009, 14:34 | imag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für den Hinweis. Jetzt habe ich das auch verstanden. und danke für die Hilfe! |
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