Abschluss Menge

18.06.2009, 10:44

imag

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Abschluss Menge

Hallo
ich will 2 Beweise dazu machen.
Es seien (X,d) ein metrischer Raum und M C X. Zeige:
a) M abgeschlossen <=> $\begin{eqnarray*} M=\overline {M} \end{eqnarray*}$
Nach der Definition in meinem Skript weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} Mc\overline {M} \end{eqnarray*}$
Also muss ich doch zeigen: M abgeschlossen <=> $\begin{eqnarray*} \overline {M}cM \end{eqnarray*}$ oder?
Die erste Richtung habe ich so gemacht:
"=>" M abgeschlossen => $\begin{eqnarray*} M \supset \bigcap_{A \supset M, A abgeschlossen} A=\overline M \end{eqnarray*}$
und die andere Richtung wäre dann
"<=" Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} M \supset \overline {M} \end{eqnarray*}$ und zu zeigen wäre dass M dann abgeschlossen ist. Aber da komme ich nicht weiter.

Beim zweiten Beweis weiß ich nicht wie ich anfangen soll:
b) $\begin{eqnarray*} \overline {M}= { x \in X: \exists (x_n) \text {in} M: x_n \to x (n \to \infty)} \end{eqnarray*}$ (irgendwie sind die Mengenklammern verschwunden, die auf der linken Seite um das ganze kommen verschwunden!)
Wäre sehr dankbar wenn mir jemand eine Tipp geben könnte.

18.06.2009, 18:17

Mathespezialschüler

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Zu a):

Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, dann hast du richtig erkannt, dass dann $\begin{eqnarray*} M\supseteq\overline M \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} M=\overline M \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist umgekehrt $\begin{eqnarray*} M=\overline M \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, warum ist dann wohl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen?

b) Mengengleichheit zeigt man im Allgemeinen durch Inklusion. Dabei ist die Definition der Abgeschlossenheit unumgänglich (wie ist eure?).

PS: Für Mengenklammern muss du "\{" und "\}" schreiben.

18.06.2009, 19:37

imag

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RE: Abschluss Menge
Danke für die Antwort!
Also zu a)
"<=" $\begin{eqnarray*} \overline {M}= \bigcap_{A \supset M, A abgeschlossen} A \end{eqnarray*}$
(nach Definition) und da nach Vorrausseetzung $\begin{eqnarray*} M=\overline {M} \end{eqnarray*}$ ist auch M abgeschlossen. Reicht das etwa schon als Begründung? Kommt mir so einfach und kurz vor!

zu b) Also wir haben "abgeschlossen" so definiert:
Es sei (X, d) ein metrischer Raum. M C X heißt abgeschlossen, falls $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ (also das Komplement von M) offen ist.

19.06.2009, 00:47

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist immer abgeschlossen und wenn $\begin{eqnarray*} M=\overline M \end{eqnarray*}$ ist, dann ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Das ist tatsächlich so einfach.

Zu b): Dann benutze doch einfach mal diese Definition. Du musst, wie gesagt, zwei Inklusionen zeigen bzw. bei solchen Aussagen kann man oft einen Trick anwenden. Zeige:

1. Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ Grenzwert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Gliedern nur aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Warum kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ liegen?

2. Die Menge, die auf der rechten Seite der zu beweisenden Behauptung steht, ist abgeschlossen und sie enthält $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Warum folgt daraus die Gleichheit?

19.06.2009, 08:47

imag

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Also zu 1.:
Sei $\begin{eqnarray*} { x \in X: \exists (x_n) \text {in} M: x_n \to x (n \to \infty)} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ ist offen, da $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist und nach meiner Definition das Komplement dann offen ist. kann ich das so behaupten? und da die folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ komplett in M liegt müsste auch der Grenzwert x in M liegen. Da M aber wieder Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist kann x nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ liegen oder? Stimmt das? Wenn ja wie bringe ich das in eine mathematische Form?

19.06.2009, 09:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von imag
Sei $\begin{eqnarray*} { x \in X: \exists (x_n) \text {in} M: x_n \to x (n \to \infty)} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ ist offen, da $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist und nach meiner Definition das Komplement dann offen ist. kann ich das so behaupten?

Was kannst du einfach so behaupten? Ich würde dazu jedenfalls nichts mehr sagen bzw., wenn noch nicht in der Vorlesung getan, würde ich noch erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ als Durchschnitt (beliebig vieler) abgeschlossener Mengen auch abgeschlossen ist.

Zitat:

Original von imag
und da die folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ komplett in M liegt müsste auch der Grenzwert x in M liegen.

Nein, das ist leider total falsch. Das ist ja gerade der Witz am Abschluss, dass der nämlich alle Grenzwerte enthält. Nach deiner Schlussfolgerung wäre die Menge oben auf der rechten Seite ja sogar gleich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Betrachte als Gegenbeispiel zu deiner Behauptung $\begin{eqnarray*} M=(0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Der Rest ist damit natürlich nicht mehr sinnvoll. Nimm doch einfach mal an, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ läge nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ .

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19.06.2009, 09:29

imag

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Wenn x nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ läge, könnte die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen x konvergieren, da die Folge komplett in M liegt.
Ist das richtiger? irgendwie hänge ich da.

19.06.2009, 17:39

Mathespezialschüler

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Das reicht natürlich nicht, weil du nur eine Behauptung ohne Begründung hingeschrieben hast. Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegt, wo liegt es dann? Welche Eigenschaft hat diese Menge? Was bekommst du, wenn du diese Eigenschaft auf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ anwendest?

19.06.2009, 19:10

imag

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Wenn x nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegt, liegt x in $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, dann ist $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ offen. Also kann die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen x konvergieren, da die Folge komplett in M liegt. Ist die Begründung richtig?

19.06.2009, 19:26

Mathespezialschüler

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Nein, du hast wieder nur eine Behauptung hingeschrieben, ohne diese zu begründen. Warum kann denn die Folge nicht gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ liegt?

Gucke dir dazu die Definition von "Offenheit" an, wende diese, wie schon gesagt, auf den Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an und erhalte so einen wirklichen Widerspruch (d.h. mit Begründungen bis ins letzte Detail).

19.06.2009, 19:53

imag

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RE: Abschluss Menge
Wenn x nicht in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegt, liegt x in $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, dann ist $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ offen, d.h. für alle x $\begin{eqnarray*} \in \overline M^C\exists \epsilon >0: U_ \epsilon (x) c \overline M^C \end{eqnarray*}$ und deswegen kann die Folge nicht gegen x konvergieren weil die Folge in M liegt. Dies ist ein Widerspruch zur Behauptung, deswegen muss x in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegen.

19.06.2009, 20:55

Mathespezialschüler

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Das war nicht bis ins letzte Detail. Ich machs jetzt einfach nochmal komplett:

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Grenzwert einer Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\in M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es wäre $\begin{eqnarray*} x\notin\overline M \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\in\overline M^C \end{eqnarray*}$ . Dann existiert wegen der Offenheit von $\begin{eqnarray*} \overline M^C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x)\subseteq\overline M^C \end{eqnarray*}$ . Zu diesem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ existiert wegen der Konvergenz obiger Folge gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} x_n\in U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ gilt (diesen Schritt hast du vergessen!). Dann folgt aber für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_n\in\overline M^C \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\notin M\subseteq\overline M \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Zitat:

Original von imag
Dies ist ein Widerspruch zur Behauptung

Widersprüche zur Behauptung bringen absolut nichts, man braucht Widersprüche zur Voraussetzung oder zu bereits bekannten Aussagen!

19.06.2009, 22:02

imag

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Vielen Dank für die geduldige Hilfe!
Ja das ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung nicht zur Behauptung, meinte ich auch eigentlich.

19.06.2009, 23:50

imag

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RE: Abschluss Menge
Eine Frage habe ich noch: Ist das jetzt der komplette Beweis zu b)? Ich muss doch noch die andere Seite beweisen oder? Nämlich aus
$\begin{eqnarray*} \overline {M} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} { x \in X: \exists (x_n) \text {in} M: x_n \to x (n \to \infty)} \end{eqnarray*}$

20.06.2009, 11:58

imag

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RE: Abschluss Menge
Ach quatsch. hat sich erledigt!

20.06.2009, 13:33

Mathespezialschüler

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Doch, natürlich musst du das. Bis jetzt weißt du für

$\begin{eqnarray*} N:=\left\{x\in X\ \left|\ \exists\ (x_n)_{n\in\mathbb N},x_n\in M\ \forall\ n\in\mathbb N\ :\ \lim_{n\to\infty}x_n=x\right.\right\} \end{eqnarray*}$

nur, dass $\begin{eqnarray*} N\subseteq\overline M \end{eqnarray*}$ gilt. Zeige jetzt noch:

$\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.

20.06.2009, 13:54

imag

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Ja stimmt.
Kann ich für den Beweis, das N abgeschlossen ist, den 1. Teil verwenden? Dort habe ich doch gezeigt:
$\begin{eqnarray*} N\subseteq\overline M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist doch abgeschlossen. Daraus folgt also, dass N auch abgeschlossen ist.

$\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$
Diese Aussage ist mir eigentlich logisch, aber ich habe keine Idee wie ich das nachweisen könnte.

20.06.2009, 14:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von imag
Ja stimmt.
Kann ich für den Beweis, das N abgeschlossen ist, den 1. Teil verwenden? Dort habe ich doch gezeigt:
$\begin{eqnarray*} N\subseteq\overline M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ ist doch abgeschlossen. Daraus folgt also, dass N auch abgeschlossen ist.

Das ist komplett falsch. Dann wäre ja jede Menge abgeschlossen, weil jede Menge Teilmenge des ganzen Raums $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist und der abgeschlossen ist. Das gleiche Argument würde auch die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bringen, weil ja $\begin{eqnarray*} M\subseteq\overline M \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist aber einfach falsch, siehe z.B. $\begin{eqnarray*} M=(0,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline M=[0,1] \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ . Du musst eine Folge von Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ finden, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Welche könnte man da wohl nehmen?

20.06.2009, 14:09

imag

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Dann könnte ich doch die Folge

$\begin{eqnarray*} x_n\in M \forall\ n\in\mathbb N : \lim_{n\to\infty}x_n=x \end{eqnarray*}$
nehmen oder?

20.06.2009, 14:48

Mathespezialschüler

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Welche Folge? Du hast hier keine Folge definiert! Und sobald du $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ schreibst, ist es auch sinnlos ein $\begin{eqnarray*} \forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ davor zu schreiben.

20.06.2009, 15:09

imag

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Muss ich irgendeine konkrete Folge definieren? ich meinte die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , die gegen x konvergiert für $\begin{eqnarray*} (n\to\infty \end{eqnarray*}$
Ich glaub irgendwie verstehe ich nicht was gemeint ist.

20.06.2009, 15:32

Mathespezialschüler

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Es gibt nicht die Folge, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Du musst doch eine Folge von Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angeben, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Und wenn $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du einfach die konstante Folge $\begin{eqnarray*} x_n=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nehmen.

21.06.2009, 11:21

imag

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Kann ich jetzt saruas schon folgern, dass
$\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ ist?

21.06.2009, 20:23

Mathespezialschüler

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Ja natürlich, denn damit man für jedes $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angegeben, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Also erfüllt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die definierende Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ . Und da man für die Inklusion $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ nunmal $\begin{eqnarray*} x\in M\Rightarrow x\in N \end{eqnarray*}$ zeigen muss, was damit getan wurde, folgt eben diese Inklusion.

Bleibt noch die Abgeschlossenheit zu zeigen. Hast du dazu vielleicht eine Idee? Benutze eine Charakterisierung der Abgeschlossenheit über Folgen, denke an die Definition von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und schreibe dir alles zusammen einmal hin. Dann sollte das auch nicht so schwierig sein.

22.06.2009, 19:11

imag

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Also: ich habe den 1. Teil nochmal komplett aufgeschrieben:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge und es gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N: x_n=x\Rightarrow MCN \end{eqnarray*}$ , da man für jedes $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Elementen aus M angeben kann, die gegen x konvergiert.
Nun zu N abgeschlossen:
Angenommen $\begin{eqnarray*} N^C \end{eqnarray*}$ nicht offen, also N offen. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in N^C \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \text {ein} x_n \in N \text{existiert mit} x_n \in U_{\frac{1}{n}}(x) \text {für} x_n \text{gilt}: x_n\to x (n\to \infty) \end{eqnarray*}$ da der Abstand von x und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ kleiner als 1/n ist also für n gegen unendlich gegen 0 geht, ist dies ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
Stimmt das?

23.06.2009, 01:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von imag
Angenommen $\begin{eqnarray*} N^C \end{eqnarray*}$ nicht offen, also N offen.

Das Gegenteil von Offenheit ist nicht Abgeschlossenheit. Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, und es gibt auch Mengen, die keins von beidem sind. Das Gegenteil von " $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ abgeschlossen" ist " $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen" und nichts anderes. Deswegen ist diese Aussage falsch.

Du benutzt das aber anschließend gar nicht und dein Widerspruchsbeweis ist korrekt und zeigt, dass $\begin{eqnarray*} N^C \end{eqnarray*}$ offen sein muss.

23.06.2009, 14:34

imag

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Vielen Dank für den Hinweis. Jetzt habe ich das auch verstanden. und danke für die Hilfe!

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