Mittelpunkt Quadrik

18.06.2009, 17:41	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelpunkt Quadrik Ich habe folgende Quadrik einer Ellipse im R2 gegeben und soll deren Mittelpunkt bestimmen, hätte dazu aber eingie Fragen: $\begin{eqnarray} Q=\{x_1,x_2\| 3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-2x_1+10x_2-5=0\} \end{eqnarray}$ Ich habe zuerst so umgeschrieben: $\begin{eqnarray} x^TAx+b^Tx-c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \ ; \ b = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix} \ ; \ c=-5 \end{eqnarray}$ nun habe ich die Eigenwerte von A bestimmt sowie deren Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \lambda_1=4 \rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_2=2 \rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} D=S^TAS \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} S=\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} 4& 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \overline{b} = S^Tb = \begin{pmatrix} \frac{8}{\sqrt{2} } \\ \frac{-12}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=s^Tx \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} y^TDy+\frac{8}{\sqrt{2}}y_2-\frac{12}{\sqrt{2}}y_2-5=0 \end{eqnarray}$ Nun verschiebe ich die Quadrik in den Ursprung $\begin{eqnarray} z_1:=y_1+\frac{8}{\sqrt{2}}\frac{1}{24} = y_1+\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2:=y_2+\frac{-12}{\sqrt{2}}\frac{1}{22} = y_1-\frac{3}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Nun die entscheidende Frage, hier unterscheiden sich die zwei Skripten die ich vor mir habe: das eine sagt hier kann ich den Mittelpunkt ablesen, nämlich die negative verschiebung bei y1 bzw. y2. Damit wäre: $\begin{eqnarray} M=(\frac{-1}{\sqrt{2}} \| \frac{3}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray}$ Nach der andere Alternative muss ich jetzt noch die Matrix S mit dem Vektor der negativen Verschiebung multiplizieren, also: $\begin{eqnarray} M=\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was von beidem stimmt, was ist dann das andere, bzw was sagt es aus und noch eine kleine Frage, wenn ich oben die Eigenvektoren tausche, erhalte ich aüch für den Mittelpunkt die Koordinaten vertauscht, darf das sein, ist dann doch ichtmher der gleiche Punkt?bzw wo ist der Fehler?
20.06.2009, 11:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Ursprung $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ des neuen Koordinatensystems, das ist hier zugleich der Mittelpunkt der Ellipse, erhältst du durch Lösen der Gleichung $\begin{eqnarray} A^2 m + \frac{1}{2} A b = 0 \end{eqnarray}$ Deine Hauptachsen stimmen. In der folgenden Zeichnung habe ich $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ durch seinen Gegenvektor ersetzt. Zudem sind die neuen Basisvektoren normiert. Die Ellipse hat die Halbachsen $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . [attach]10797[/attach]

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