Hessesche Normalform (Abstand einer Gerade zum Ursprung)

18.06.2009, 18:15	NeedNoNick	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalform (Abstand einer Gerade zum Ursprung) Hallo, Ich muss den Geradenabstand zum Ursprung berechnen, die Angabe: $\begin{eqnarray} g: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^2, t\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Und das Ergebniss ist: $\begin{eqnarray} Normalform: x+2y=6\\Normalvektor: n = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\Normalform': \frac{1}{\sqrt{5}}x+\frac{2}{\sqrt{5}}y=\frac{6}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$ Aber: Wie komm ich zur ersten Normalform x+2y=6?* Nach mehrmaligen rumprobieren bin ich leider noch nicht draufgekommen, wäre froh wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!
18.06.2009, 18:45	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt sicherlich mehrere (elegantere) Wege um auf diese Form zu kommen aber ohne jegliches Vorwissen über Normalenvektoren oder ähnliches kann man sich ja einfach 2 Punkte überlegen, die auf der Geraden g liegen und diese dann in die bekannte Form y=mx+n einsetzen und das LGS lösen. Danach nur noch entsprechend umformen um auf eine Form ax+by=c zu kommen.
18.06.2009, 22:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere die gegebene Parameterform ganz oben einfach skalar mit dem Normalvektor (1; 2). Dann kommt x + 2y = (-2; 4) . (1; 2) = 6 Fertig. [t fällt weg, weil sein Faktor dort als Produkt "Richtungsvektor mal Normalvektor" zu Null wird] mY+
19.06.2009, 00:14	NeedNoNick	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, danke für die schnellen und hilfreichen Antworten! Ich hab es mittlerweile so gelöst: x = -2 -2k y = 4 + 1k \|2 ----------------------- x+2y = 6 Eine neue Frage stellt sich mir dennoch.* Wie sieht es aus wenn ich den Normalvektor und Normalform im R³ haben möchte? für z.B.: g: (x,y,z) = (2,-4,1) + k*(3,-1,5) € R³, k€R
19.06.2009, 00:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In R3 gibt es (analog) die Normalvektorform - allerdings nur für eine Ebene, nicht für die Gerade. Eine Gerade verbleibt in diese Falle in der Parameterform. mY+

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