Z.z.: Gammaverteilung beschreibt Dichte

18.06.2009, 18:22

sacrator

Z.z.: Gammaverteilung beschreibt Dichte

Hallo,
ich konnte leider nichts Entsprechendes finden, also wage ich es mal, meinen ersten Thread zu eröffnen smile

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Gezeigt werden soll, dass die Gammaverteilung eine Dichte beschreibt:
$\begin{eqnarray*} f(x) =\begin {cases} \frac{1}{\Gamma(\nu)}~\alpha^{\nu}~x^{\nu-1}~exp(-\alpha x) & x > 0 \\ 0 & sonst \end {cases} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma(\nu) = \int_{0}^{\infty}~x^{\nu-1}~e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$
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Dass dabei f > 0 ist, ist klar.

Allerdings finde ich nicht den Weg, um zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~f(x)~dx = 1 \end{eqnarray*}$

Durch Umformen komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~f(x)~dx = \alpha^\nu~\frac{\int_{0}^{\infty}~x^{\nu-1}~e^{-\alpha x}~dx}{\int_{0}^{\infty}~x^{\nu-1}~e^{-x}~dx} \end{eqnarray*}$

Hier scheint mir aber irgendwie der entscheidende Schritt zu fehlen.
Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank im Voraus!

18.06.2009, 19:02

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Zitat:

Original von sacrator
Allerdings finde ich nicht den Weg, um zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~f(x)~dx = 1 \end{eqnarray*}$

Schau dir doch einfach die dir vorliegende Definition der Gammafunktion

Zitat:

Original von sacrator
wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma(\nu) = \int_{0}^{\infty}~x^{\nu-1}~e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

an, dann liegt die Idee auf der Hand:

Substituiere im Dichte-Integral $\begin{eqnarray*} u=\alpha x \end{eqnarray*}$ .

18.06.2009, 20:07

sacrator

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Super, vielen Dank! So geht es natürlich.
Substitution ist nicht meine Stärke Augenzwinkern

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