komme nicht auf umkehrfunktion

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eey Auf diesen Beitrag antworten »
komme nicht auf umkehrfunktion
hallo zusammen,

ich komm einfach nicht auf die umkehrfunktion der Funkion:



ich weiß dass ich nach der variable x auflösen muss, aber daran scheiterts dann leider auch: Ich hab ja dann die Form



so...

wie kann ich jetzt mein x isolieren? Hab schon bald 2 seiten vollgeschmiert und bin mit meinem Latein am ende verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komme nicht auf umkehrfunktion


Also ist y>=0.





Kommst du nun weiter?
eey Auf diesen Beitrag antworten »

oh man logooo ich bin so blöd Hammer

ich hoffe es stimmt dann so:





dann durch x teilen:



wurzel y rüberhauen:



mit x multiplizieren, durch (1-sqrt(y)) teilen:



so und daraus folgt nach vertauschen der Variablen meine Umkehrfunktion:




Ich hoffe das stimmt so, vielen dank auf jeden fall für die Hilfe Freude Freude Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zulässige Bereiche beachten. Also warum die nicht durch 0 teilst. Augenzwinkern

eey Auf diesen Beitrag antworten »

äh, also ist die umkehrfunktion falsch?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Bild zeigt doch schön, dass es stimmt. Der Kommentar bezog sich auf deinen Aufschrieb. Da gehören noch Werte und Defmenge rein.
 
 
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

ummm...
sollte man nicht erst mal scfhreiben, von wo nach wo man abbildet?
denn davon hängt die umkehrfunktion maßgeblich ab...
eey Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo, ja def-menge ist halt IR+ ohne 1 und Wertemenge ist IR+ oder?


hab aber noch ne Fragee eigentliche aufgabenstellung lautet:

"Berechnen Sie von f(x) die Umkehrfunktion und die erste Ableitung der Umkehrfunktion g(x), anschließend überprüfen sie das Ergebniss g'(x) mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion."


Ok also Umkehrfunktion hab ich, Ableitung der Umkehrfunktion hab ich auch, die da wäre:




so, aber wie soll ich jetzt dieses Ergebniss "mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion" überprüfen? Das Ergebniss IST doch die Ableitung der Umkehrfunktion, wie soll ich das mit sich selbst überprüfen???

Danke schonmal für eure Hilfe,

eey
eey Auf diesen Beitrag antworten »

irgendjemand ne idee was mit dieser angabe gemeint sein könnte?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:

oder alternativ:
Steht in jeder Formelsammlung
eey Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke

aber ich komm einfach nicht auf das richtige ergebniss....

und zwar hackts an meiner ableitung der umkehrfunktion:



ich komme da auf:



was laut meinem MAtheprogramm gleich sein soll mit:



aber wieso sind die gleich???

ich check das nicht, das ist doch was anderes oder?
weil auch wenn das quadrat das vorzeichen sowieso zu plus macht, wenn ich meine
Funktion f(x) einsetze verschwindet ja das quadrat wegen der wurzel und dann
ist die Reihenfolge doch nicht mehr egal, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wird furchtbar leichtsinnig rein formal gerechnet. Das stimmt doch so gar nicht. Ohne Angabe von Definitions- und Wertebereich ist das alles wertlos. Was ist nun der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion? Da nichts angegeben wurde, geht man vom größtmöglichen Bereich aus, in dem der Funktionsterm berechenbar ist, also



ist global aber überhaupt nicht umkehrbar! So liefern z.B. und denselben Wert . WUMS!

Um umkehren zu können, muß man also geeignet restringieren. Natürlich sucht man dazu möglichst große Intervalle, mit anderen Worten die Monotonieintervalle der Funktion. Die Ableitung



besitzt genau eine Nullstelle, nämlich . Durch diese und die Polstelle sind die Monotonieintervalle bestimmt. Eine Vorzeichenuntersuchung der Ableitung zeigt:

: Hier ist streng monoton wachsend

: Hier ist streng monoton fallend

: Hier ist streng monoton wachsend

Die Restriktionen von bezüglich dieser Intervalle seien entsprechend mit bezeichnet. Untersucht man das Randverhalten, findet man



als Bildintervalle von . So bekommt man drei Umkehrfunktion





Es kann natürlich sein, daß ich mir hier viel zu viel Arbeit gemacht habe, weil der Definitionsbereich von von vorneherein eingeschränkt war. Daran wäre dann aber eey schuld, weil er diese essentielle Angabe unterdrückt hätte.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Hier wird furchtbar leichtsinnig rein formal gerechnet. Das stimmt doch so gar nicht. Ohne Angabe von Definitions- und Wertebereich ist das alles wertlos. Was ist nun der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion? Da nichts angegeben wurde, geht man vom größtmöglichen Bereich aus, in dem der Funktionsterm berechenbar ist, also



ist global aber überhaupt nicht umkehrbar! So liefern z.B. und denselben Wert . WUMS!

Um umkehren zu können, muß man also geeignet restringieren. Natürlich sucht man dazu möglichst große Intervalle, mit anderen Worten die Monotonieintervalle der Funktion. Die Ableitung



besitzt genau eine Nullstelle, nämlich . Durch diese und die Polstelle sind die Monotonieintervalle bestimmt. Eine Vorzeichenuntersuchung der Ableitung zeigt:

: Hier ist streng monoton wachsend

: Hier ist streng monoton fallend

: Hier ist streng monoton wachsend

Die Restriktionen von bezüglich dieser Intervalle seien entsprechend mit bezeichnet. Untersucht man das Randverhalten, findet man



als Bildintervalle von . So bekommt man drei Umkehrfunktion





Es kann natürlich sein, daß ich mir hier viel zu viel Arbeit gemacht habe, weil der Definitionsbereich von von vorneherein eingeschränkt war. Daran wäre dann aber eey schuld, weil er diese essentielle Angabe unterdrückt hätte.



Ja, ich bin leider schuld traurig

D = IR+

aber wie hilft mir das jetzt bei meinem ursprünglichen problem??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Definitionsbereich von als festgelegt ist, dann ist die passende Umkehrfunktion. Das entspricht dann auch deinem . Halten wir noch einmal fest: Die folgenden Funktionen und sind Umkehrungen voneinander:





Wenn man mit einer Funktion und ihrer Umkehrung im selben umgebenden Kontext rechnet, ist es günstiger, die Variablen nicht (!) umzubenennen, auch wenn den Leuten permanent etwas anderes erzählt wird. Zwar spielt es letztlich keine Rolle, wie die Variable einer Funktion heißt (weil sie eine sogenannte gebundene Variable ist), sondern nur, was man als unabhängige und was als abhängige Variable ansieht. Nur muß man dann dauernd die Perspektive ändern und kann sich nicht auf die Bedeutung der Variablen außerhalb des unmittelbaren Funktionskontextes verlassen. Daher habe ich es oben so gemacht:



Wenn man nun mittels zu einem ein bestimmt, dann passen dieselben und auch bei . Zum Beispiel erhält man für den Wert . Und jetzt macht aus genau diesem genau dieses , d.h. , also . Man muß eigentlich nicht mehr denken, es geht automatisch.

Und wenn man das so tut, lautet die Beziehung zwischen den Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion ganz einfach:



Um es noch einmal klar zu sagen: Hierbei sind die Variablen durch oder gleichwertig aneinander gekoppelt.

Löse jetzt die Formel nach auf und setze ein (das hast du sicher schon einmal irgendwo berechnet, du findest es versteckt auch in meinem ersten Beitrag). Auf diese Weise bekommst du , ausgedrückt in . Um es nun in auszudrücken, mußt du nur für einsetzen. Fertig.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Und wenn man das so tut, lautet die Beziehung zwischen den Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion ganz einfach:





Aber da hakt es bei mir doch schon, wie soll das denn 1 werden?

Mein f'(x) ist ja



und mein g'(y) ist



wenn ich das multipliziere kommt aber gar nicht 1 raus, die ableitungen stimmen aber
(habs jetzt schon 3 mal mit maple überprüft...)

und wenn ich das alles einsetze wie du mir sagst bekomme ich auch bloß:




blick so langsam nicht mehr durch verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so mußt du es machen. Allerdings stimmt am Schluß an einer Stelle ein Vorzeichen nicht. Vielleicht ist es nur ein Schreibfehler.
Dann den Term in der großen Klammer auf einen Bruchstrich bringen, rechtzeitig kürzen und vereinfachen. Dann steht es schon da.
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